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조건문 : 공허한 참 & 충분조건과 필요조건 조건문에서 전건이 거짓인 경우 그 조건문은 참이 된다. 다시 말해 $p\to q$에서 $p$가 거짓인 경우, $q$가 참이든 거짓이든 $p\to q$은 참이 된다는 것이다. 가령 "내일 날이 맑으면 소풍을 가자"라고 말했다고 해보자. 다음 날이 되어서 날이 맑았을 때 소풍을 갔다면 진실을 이야기 한 것이고 가지 않았다면 거짓말을 한 것이다. 그런데 다음 날이 되어서 비가 온다면? 소풍을 갈 수도 있고 안 갈 수도 있겠지만 어떤 행동을 취하던 거짓말을 한 것은 아니다. "대회에서 우승하면 상금을 드립니다." 우승을 못했어도 상금을 받을 수도 있지 않은가? 물론 못 받는 것이 더 당연해보인다. 하지만 $p\to q$은 $p$로부터 $q$를 얻을 수 있다는 뜻이지 않나? $p$가 거짓이면 이 명제를 통해 알 .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 7. 31.
[210721] 2021년 7월 학평 21번 공차가 $d$이고 모든 항이 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1\le d$ (나) 어떤 자연수 $k$ $(k\ge3)$에 대하여 세 항 $a_2$, $a_k$, $a_{3k-1}$이 이 순서대로 등비수열을 이룬다. $90\le a_{16}\le100$일 때, $a_{20}$의 값을 구하시오. $a_1=a$라 하자. 모든 항이 자연수이므로 $a$, $d$는 모두 자연수이다. (나) 조건에서 $a_2$, $a_k$, $a_{3k-1}$이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $a_k^2=a_2\cdot a_{3k-1}$이 성립한다. $(a+(k-1)d)^2=(a+d)(a+(3k-2)d)$ $a^2+2(k-1)ad+(k^2-2k+1)d^2=a^2+(3k-1)ad+(3k-2.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 7. 8.
[210715] 2021년 7월 학평 15번 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$에 대하여 방정식 $f'(x)=0$의 서로 다른 세 실근 $\alpha$, $0$, $\beta$ $(\alpha 공감수 0 댓글수 0 2021. 7. 8.
[220629] 22 수능 6월 모평 기하 29번 포물선 $y^2=8x$와 직선 $y=2x-4$가 만나는 점 중 제$1$사분면 위에 있는 점을 $A$라 하자. 양수 $a$에 대하여 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$가 점 $A$를 지날 때, 직선 $y=2x-4$와 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$가 만나는 점 중 $A$가 아닌 점을 $B$라 하자. 두 점 $A$, $B$에서 직선 $x=-2$에 내린 수선의 발을 각각 $C$, $D$라 할 때, $\overline{AC}+\overline{BD}-\overline{AB}=k$이다. $k^2$의 값을 구하시오. $x=-2$는 포물선 $y^2=8x$의 준선이고, $y=2x-4$의 $x$절편을 $F$라 하면 $F(2,0)$은 그 초점이 된다. $y^2=8x$와 $y=2x-4$가 만나는 두 점 중 $A$.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 6. 5.
[220621] 22 수능 6월 모평 21번 다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 존재하도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. (가) $x$에 대한 방정식 $(x^n-64)f(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다. (나) 함수 $f(x)$의 최솟값은 음의 정수이다. $x^n-64=0$은 $n$이 홀수일 때 하나의 실근만을 갖고, $n$이 짝수이면 서로 다른 두 실근을 가진다. $f(x)=0$의 서로 다른 실근은 많아야 $2$개이므로 (가) 조건을 만족시키려면 $n$은 짝수이고, $x^n-64=0$의 서로 다른 두 실근이 $f(x)=0$의 근이 되어야한다. $x^n=64$의 실근은 $\pm^n\sqrt{64}$이므로 $f(x)=(x-^n\sqrt{64})(x+^n\sqrt{.. 공감수 2 댓글수 0 2021. 6. 4.
[220628] 22 수능 6월 모평 확률과 통계 28번 한 개의 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $3$ 이하이면 나온 눈의 수를 점수로 얻고, 나온 눈의 수가 $4$ 이상이면 $0$점을 얻는다. 이 주사위를 네 번 던져 나온 눈의 수를 차례로 $a$, $b$, $c$, $d$라 할 때, 얻은 네 점수의 합이 $4$가 되는 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수는? $a$, $b$, $c$, $d$가 될 수 있는 수는 $0$, $1$, $2$, $3$이다. 이 네 수의 합으로 $4$를 표현하는 방법은 순서를 무시했을 때, $(3,1,0,0)$, $(2,2,0,0)$, $(2,1,1,0)$, $(1,1,1,1)$뿐이다. i) $(3,1,0,0)$ 배열하는 방법의 수는 $\dfrac{4!}{2!}=12$이고 $0$이 될 수 있는 눈은 $4$, $5$, $6.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 6. 4.
[220629] 22 수능 6월 모평 확률과 통계 29번 $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $6$개의 의자가 있다. 이 $6$개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 $2$개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 $12$가 되지 않도록 배열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 여섯개의 의자를 배열하는 경우의 수는 $\dfrac{6!}{6}=120$가지이다. $2$와 $6$, 그리고 $3$과 $4$가 이웃하는 경우만 빼주면 된다. i) $2$와 $6$이 이웃하는 경우 해당하는 두 의자를 하나로 봐서 다섯 의자를 배열한 뒤, $2$와 $6$의 순서를 정해주면 된다. $\dfrac{5!}{5}\times2=48$ ii) $3$과 $4$가 이웃하는 경우 i)과 같이 $48$ iii) $2$와.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 6. 4.
[220630] 22 수능 6월 모평 확률과 통계 30번 숫자 $1$, $2$, $3$이 하나씩 적혀 있는 $3$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $5$번 반복하여 확인한 $5$개의 수의 곱이 $6$의 배수일 확률이 $\dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) $5$개의 수의 곱이 $6$의 배수이려면 $2$와 $3$이 적어도 한 번씩은 나와야한다. 여사건의 확률을 생각하자. $1$, $2$에서만 나오는 확률은 $\dfrac{2^5}{3^5}$, $1$, $3$에서만 나오는 확률은 $\dfrac{2^5}{3^5}$이다. 두 사건이 동시에 일어날 확률은 $1$만 나오는 사건의 확률이므로.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 6. 4.
[220629] 22 수능 6월 모평 미적분 29번 $t>2e$인 실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)=t(\ln x)^2-x^2$이 $x=k$에서 극대일 때, 실수 $k$의 값을 $g(t)$라 하면 $g(t)$는 미분가능한 함수이다. $g(\alpha)=e^2$인 실수 $\alpha$에 대하여 $\alpha\times\{g'(\alpha)\}^2=\dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) $f(x)$는 미분가능한 함수이므로 $x=k$에서 극대이면 $f'(k)=0$이다. $f'(x)=2t\ln x\dfrac{1}{x}-2x$이므로 $f'(k)=2t\ln k\dfrac{1}{k}-2k=0$ $\therefore t\ln k=k^2$ $k=g(t)$에서 $t\ln(g(t))=\{g(t)\}^2.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 6. 4.
[220630] 22 수능 6월 모평 미적분 30번 $t>\dfrac{1}{2}\ln2$인 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=\ln(1+e^{2x}-e^{-2t})$과 직선 $y=x+t$가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $f(t)$라 할 때, $f'(\ln2)=\dfrac{q}{p}\sqrt2$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 주어진 두 함수 모두 $x=-t$에서의 함수 값이 0이므로 만나는 두 점 중 하나는 $(-t,0)$이다. $\ln(1+e^{2x}-e^{-2t})=x+t$ $1+e^{2x}-e^{-2t}=e^{x+t}$ $e^{2x}-e^{x+t}-e^{-2t}+1=0$ 이 식을 $e^x$에 대한 이차식으로 보고 인수분해하자. 교점 중 하나의 $x$좌표가 $-t$이므로 $e^x-e^{-t}$.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 6. 4.
[191130] 19 수능 가형 30번 최고차항의 계수가 $6\pi$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}$이 $x=\alpha$에서 극대 또는 극소이고, $\alpha\ge0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5,\cdots$라 할 때, $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\alpha_1=0$이고 $g(\alpha_1)=\dfrac{2}{5}$이다. (나) $\dfrac{1}{g(\alpha_5)}=\dfrac{1}{g(\alpha_2)}+\dfrac{1}{2}$ $g'(-\dfrac{1}{2})=a\pi$라 할 때, $a^2$의 값을 구하시오. (단, $0f(\alp.. 공감수 0 댓글수 1 2021. 6. 2.
이차곡선 위의 점의 좌표를 통해 접선의 방정식 구하기 이차곡선 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서 그은 접선의 방정식을 구해보자. 이차곡선의 방정식을 $x$에 대해 미분하면 다음 식을 얻는다. $2Ax+By+Bx\dfrac{dy}{dx}+2Cy\dfrac{dy}{dx}+D+E\dfrac{dy}{dx}=0$ $\therefore\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2Ax+By+D}{Bx+2Cy+E}$ $(x_1, y_1)$에서 그은 접선의 기울기는 $\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(x_1,y_1)}=-\dfrac{2Ax_1+By_1+D}{Bx_1+2Cy_1+E}$이므로 접선의 방정식은 다음과 같다. $y-y_1=\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(x_1,y_1)}(x-x_1)$ $(2Ax_1+By.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 5. 6.
[141129] 14 수능 B형 29번 좌표공간에서 구 $x^2+y^2+z^2=4$ 위를 움직이는 두 점 $P$, $Q$가 있다. 두 점 $P$, $Q$에서 평면 $y=4$에 내린 수선의 발을 각각 $P_1$, $Q_1$이라 하고, 평면 $y+\sqrt3z+8=0$에 내린 수선의 발을 각각 $P_2$, $Q_2$라 하자. $2|\overrightarrow{PQ}|^2-|\overrightarrow{P_1Q_1}|^2-|\overrightarrow{P_2Q_2}|^2$의 최댓값을 구하시오. 평면 $y=4$와 평면 $y+\sqrt3z+8=0$의 법선벡터는 각각 $(0,1,0)$, $(0,1,\sqrt3)$이므로 두 평면이 이루는 각을 $\theta$라 하면 $\cos\theta=\dfrac{(0,1,0)\cdot(0,1,\sqrt3)}{|(0,1.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 5. 5.
[150921] 15 수능 9월 모평 B형 21번 양수 $t$에 대하여 $\log t$의 정수 부분과 소수 부분을 각각 $f(t)$, $g(t)$라 하자. 자연수 $n$에 대하여 $f(t)=9n\left\{g(t)-\dfrac{1}{3}\right\}-n$을 만족시키는 서로 다른 모든 $f(t)$의 합을 $a_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n^2}$의 값은? $0\le g(t) 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 30.
[060320] 2006년 3월 학평 가형 20번 A, B, C, D 4개의 축구팀이 있다. 이들은 각각 다른 모든 팀과 1경기 씩을 치르게 되고, 각각의 팀이 경기에서 이길 확률은 $\dfrac{1}{2}$이다. 경기에서 모두 이기거나, 경기에서 모두 진 팀이 생길 확률을 $\dfrac{n}{m}$($m$, $n$은 서로소인 자연수)이라 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, 비기는 경기는 없다.) 전승하는 팀이 생길 확률은 전승할 팀을 고른 뒤, 그 팀이 3번의 경기에서 모두 이길 확률이다. 이는 $_4C_1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{2}$이다. 전패하는 팀이 생길 확률도 $\dfrac{1}{2}$이다. 전승하는 팀과 전패하는 팀이 동시에 나타날 확률을 구해보자. 전승할 팀, 전패할 팀을 뽑은 .. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 27.
[161030] 2016년 10월 학평 가형 30번 $1$부터 $9$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $9$개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, $i$번째($i=1,2,\cdots,9$) 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $a_i$라 하자. $1 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 27.
[130727] 2013년 7월 학평 B형 27번 남학생 4명, 여학생 2명이 간격이 일정한 9개의 자리가 있는 원탁에 다음 두 조건에 따라 앉으려고 할 때, 앉을 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) 남학생, 여학생 모두 같은 성별끼리 2명씩 조를 만든다. (나) 서로 다른 두 개의 조 사이에 반드시 한 자리를 비워둔다. 6명이 2명씩 조를 이루어 함께 앉고 조끼리 한 자리씩 띄워 앉으므로 3개의 빈 자리가 필요하다. 학생들이 앉는 6개의 자리와 빈 3개의 자리를 합하면 모든 자리를 사용하게 된다. 학생들은 (남, 남, 여)의 3개 조로 나뉘는데 조를 어떻게 배치해도 회전하면 똑같은 배치가 된다. 이제 남학생 4명과 여학생 2명을 각각 배열하면 되므로 경우의 수는 $4!\times2!=48$ 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 27.
[150730] 2015년 7월 학평 A형 30번 검은 바둑돌과 흰 바둑돌을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은 $\LARGE\bullet\,\bullet$, $\LARGE\bullet\,\circ$, $\LARGE\circ\,\bullet$, $\LARGE\circ\,\circ$으로 4가지이다. 예를 들어, 6개의 바둑돌을 2번, 1번, 1번, 1번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 $\LARGE\bullet\bullet\circ\circ\bullet\,\bullet$, $\LARGE\circ\bullet\bullet\bullet\circ\,\circ$, $\LARGE\circ\circ\bullet\bullet\bullet\,\circ$, $\LARGE\bullet\bullet\bullet\circ\c.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 27.
[180930] 18 수능 9월 모평 가형 30번 함수 $f(x)=\ln(e^x+1)+2e^x$에 대하여 이차함수 $g(x)$와 실수 $k$는 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $h(x)=|g(x)-f(x-k)|$는 $x=k$에서 최솟값 $g(k)$를 갖고, 닫힌구간 $[k-1,k+1]$에서 최댓값 $2e+\ln\left(\dfrac{1+e}{\sqrt2}\right)$를 갖는다. $g'\left(k-\dfrac{1}{2}\right)$의 값을 구하시오. (단, $\dfrac{5}{2}0$, $x 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 22.
[180621] 18 수능 6월 모평 가형 21번 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$에 대하여 $F(x)=\ln|f(x)|$라 하고, 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$에 대하여 $G(x)=\ln|g(x)\sin x|$라 하자. $\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)F'(x)=3$, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{F'(x)}{G'(x)}=\dfrac{1}{4}$일 때, $f(3)+g(3)$의 값은? 로피탈의 정리를 활용해 극한에 등장하는 $F'(x)$를 $F(x)$로 바꾸자. $\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)F'(x)&=\lim_{x\to1}\dfrac{F'(x)}{\frac{1}{x-1}}\\&=\lim_{x\to1}\dfrac{F(x.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 22.
퍼텐셜 에너지는 왜 U로 적을까? 퍼텐셜 에너지를 $U$로 적는 유래가 무엇인지 궁금해 구글링하다보니 다른 유래들도 알게 되어 모아서 적어봤다. 퍼텐셜 에너지 $U$ 정확한 설명은 없었고 설득력 있어 보이는 것은 다음과 같다. Voltage의 $V$에서 유래했다는 설 퍼텐셜 우물의 모양과 비슷해서 사용한다는 설 자기장 $B$, $H$ 맥스웰이 처음 전자기학을 정립했을 때, 벡터장을 순서대로 $A$부터 $H$를 사용해 나타냈다. 그 중 일부만 지금까지도 사용하고, 나머지는 사라진 것. 전류 $I$ Intensity의 $I$ 광속 $c$ 속도를 의미하는 라틴어 celeritas에서 따왔다. constant를 의미한다는 의견도 있긴하다. 플랑크 상수 $h$ 보조 변수를 의미하는 독일어 Hilfsgrösse에서 따왔다. 운동량 $p$ 운동량은 .. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 22.
쿠라토프스키 폐포-여집합 문제 Kuratowski's closure-complement problem 위상 공간 $X$의 부분집합에 대해 정의된 폐포(Closure), 여집합을 구하는 연산 $k:A\mapsto \overline{A}$와 $c:A\mapsto A^c$를 생각하자. $A\subset X$에 이 두 연산을 반복해서 적용한다면 서로 다른 집합을 몇 개까지 얻을 수 있을까? 일단 $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$, $(A^c)^c=A$이므로 $kkA=kA$, $ccA=A$이다. 어느 한 연산을 반복해서 적용하면 새로운 집합을 얻을 수 없으므로 두 연산을 번갈아 적용해야 한다. $ckcA=\overline{A^c}^c=\mathrm{int}A$이고 $\overline{\mathrm{int}(\overline{\mathrm{int}A})}=\overline{\ma.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 16.
[210429] 2021년 4월 학평 기하 29번 좌표평면 위에 네 점 $A(-2,0)$, $B(1,0)$, $C(2,1)$, $D(0,1)$이 있다. 반원의 호 $(x+1)^2+y^2=1$ $(0\le y\le1)$ 위를 움직이는 점 $P$와 삼각형 $BCD$ 위를 움직이는 점 $Q$에 대하여 $|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}|$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M^2+m^2=p+2\sqrt q$일 때, $p\times q$의 값을 구하시오. (단, $O$는 원점이고, $p$와 $q$는 유리수이다.) $P$, $Q$의 좌표를 $P(-1+\cos\theta,\sin\theta)$, $Q(a,b)$로 잡자. ($0\le\theta\le\pi$) $\overrightarrow{OP}+\overrigh.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 15.
[210430] 2021년 4월 학평 미적분 30번 함수 $f(x)$를 $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}$ ($a$, $b$는 양의 상수)라 하자. 자연수 $m$에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$의 실근의 개수를 $c_m$이라 할 때, $c_k=5$인 자연수 $k$가 존재한다. $k+\displaystyle\sum^\infty_{m=1}(c_m-1)$의 값을 구하시오.$\pm1$을 기준으로 $x$의 범위를 나누어 $f(x)$의 값을 구해보자. i) $|x|>1$$\begin{align*}f(x)&=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}\\&=\lim_{n\to\inf.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 15.
[210430] 2021년 4월 학평 기하 30번 두 초점이 $F(c,0)$, $F'(-c,0)$ $(c>0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점 $P$에 대하여 직선 $FP$와 직선 $F'P$에 동시에 접하고 중심이 선분 $FF'$ 위에 있는 원 $C$가 있다. 원 $C$의 중심을 $C$, 직선 $F'P$가 원 $C$와 만나는 점을 $Q$라 할 때, $2\overline{PQ}=\overline{PF}$이다. $24\times\overline{CP}$의 값을 구하시오. (단, 점 $P$는 제$1$사분면 위의 점이다.) $c=3$임은 쉽게 알 수 있다. $\overline{PF}$와 원 $C$가 접하는 점을 $R$이라 하고 $\overline{PQ}=x$, $\overline{PC}=l$로 두자. $\over.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 15.
[210428] 2021년 4월 학평 기하 28번 좌표평면에서 두 점 $F\left(\dfrac{9}{4},0\right)$, $F'(-c,0)$ $(c>0)$을 초점으로 하는 타원과 포물선 $y^2=9x$가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $P$라 하자. $\overline{PF}=\dfrac{25}{4}$이고 포물선 $y^2=9x$ 위의 점 $P$에서의 접선이 점 $F'$을 지날 때, 타원의 단축의 길이는? 주어진 포물선의 준선의 방정식은 $x=-\dfrac{9}{4}$이고 $F$는 포물선의 초점이 된다. 포물선의 정의에 의해 $\overline{PF}$는 준선으로부터 $P$까지의 거리이므로 $P$의 $x$좌표는 $\dfrac{25}{4}-\dfrac{9}{4}=4$이다. 점 $P$는 $y^2=9x$ 위에 있고 제$1$사분면의 점이므로 $P$의 좌표는.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 15.
[210428] 2021년 4월 학평 미적분 28번 길이가 $4$인 선분 $A_1B_1$을 지름으로 하는 원 $O_1$이 있다. 원 $O_1$의 외부에 $\angle B_1A_1C_1=\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{A_1B_1}:\overline{A_1C_1}=4:3$이 되도록 점 $C_1$을 잡고 두 선분 $A_1C_1$, $B_1C_1$을 그린다. 원 $O_1$과 선분 $B_1C_1$의 교점 중 $B_1$이 아닌 점을 $D_1$이라 하고, 점 $D_1$을 포함하지 않는 호 $A_1B_1$과 두 선분 $A_1D_1$, $B_1D_1$으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자. 그림 $R_1$에서 호 $A_1D_1$과 두 선분 $A_1C_1$, $C_1D_1$에 동시에 접하는 원 $O_2$를 그리고 선분 $A_1C_.. 공감수 1 댓글수 0 2021. 4. 15.
[210429] 2021년 4월 학평 미적분 29번 $\angle BAC=\dfrac{2}{3}\pi$이고 $\overline{AB}>\overline{AC}$인 삼각형 $ABC$가 있다. $\overline{BD}=\overline{CD}$인 선분 $AB$ 위의 점 $D$에 대하여 $\angle CBD= \alpha$, $\angle ACD = \beta$라 하자. $\cos^2\alpha=\dfrac{7+\sqrt{21}}{14}$일 때, $54\sqrt3\times\beta$의 값을 구하시오. $\angle DCB = \angle DBC = \alpha$이고 $\angle ADC = \angle DBC + \angle DCB = 2\alpha$ $\beta=2\pi-(\dfrac{2}{3}\pi+2\alpha)=\dfrac{\pi}{3}-2\alph.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 15.
[210429] 2021년 4월 학평 확률과통계 29번 두 남학생 $A$, $B$를 포함한 $4$명의 남학생과 여학생 $C$를 포함한 $4$명의 여학생이 있다. 이 $8$명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) $A$와 $B$는 이웃한다. (나) $C$는 여학생과 이웃하지 않는다. $A$와 $B$는 항상 이웃하므로 묶어서 남학생 한 명으로 생각하자. 그러면 남학생 셋과 여학생 넷을 배열하는 경우의 수 문제로 볼 수 있다. 원순열이므로 먼저 $C$의 위치를 고정시켜놓고 생각하자. $C$의 옆자리에는 모두 남학생만이 와야한다. $C$와 $C$의 양옆에 고정된 두 남학생을 제외하고 남은 한 남학생과 나머지 여학생 셋을 배열하는 경우의 .. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 14.
[210430] 2021년 4월 학평 확률과통계 30번 다음 조건을 만족시키는 $14$ 이하의 네 자연수 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$의 모든 순서쌍 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$의 개수를 구하시오. (가) $x_1+x_2+x_3+x_4=34$ (나) $x_1$과 $x_3$은 홀수이고, $x_2$와 $x_4$는 짝수이다. $0\le k_1,k_2,k_3,k_4\le6$에 대해 $x_1=2k_1+1$, $x_2=2k_2+2$, $x_3=2k_3+1$, $x_4=2k_4+2$로 둘 수 있다. (가) 조건에 이를 대입하자. $x_1+x_2+x_3+x_4=(2k_1+1)+(2k_2+2)+(2k_3+1)+(2k_4+2)=2(k_1+k_2+k_3+k_4)+6=34$ $k_1+k_2+k_3+k_4=14$ 이를 만족하는 순서쌍 $(k_1,k_2,k_.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 4. 14.

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