쿠라토프스키 폐포-여집합 문제 Kuratowski's closure-complement problem

위상 공간 $X$의 부분집합에 대해 정의된 폐포(Closure), 여집합을 구하는 연산 $k:A\mapsto \overline{A}$와 $c:A\mapsto A^c$를 생각하자.

 

$A\subset X$에 이 두 연산을 반복해서 적용한다면 서로 다른 집합을 몇 개까지 얻을 수 있을까?

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일단 $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$, $(A^c)^c=A$이므로 $kkA=kA$, $ccA=A$이다.

 

어느 한 연산을 반복해서 적용하면 새로운 집합을 얻을 수 없으므로 두 연산을 번갈아 적용해야 한다.

 

$ckcA=\overline{A^c}^c=\mathrm{int}A$이고 $\overline{\mathrm{int}(\overline{\mathrm{int}A})}=\overline{\mathrm{int}A}$이므로 $kckckckcA=kckcA$를 얻는다.

 

즉, $kckc$를 반복해서 적용해도 새로운 집합은 얻을 수 없다.

 

따라서 $A$에 $k$나 $c$를 적용해 얻을 수 있는 집합은 다음 $14$개가 전부이다.

 

$A$, $kA$, $ckA$, $kckA$, $ckckA$, $kckckA$, $ckckckA$, $cA$, $kcA$, $ckcA$, $kckcA$, $ckckcA$, $kckckcA$, $ckckckcA$

 

 

 

실제로 $A=(0,1)\cup(1,2)\cup\{3\}\cup([4,5]\cap\mathbb{Q})\subset\mathbb{R}$로부터 다음과 같이 $14$개의 서로 다른 집합을 얻을 수 있다.

 

$A$	$(0,1)\cup(1,2)\cup\{3\}\cup([4,5]\cap\mathbb{Q})$	$cA$	$(-\infty,0]\cup\{1\}\cup[2,3)\cup(3,4)\cup((4,5)\cap\mathbb{Q}^c)$
$kA$	$[0,2]\cup\{3\}\cup[4,5]$	$kcA$	$(-\infty,0]\cup\{1\}\cup[2,5]$
$ckA$	$(-\infty,0)\cup(2,3)\cup(3,4)\cup(5,\infty)$	$ckcA$	$(0,1)\cup(1,2)\cup(5,\infty)$
$kckA$	$(-\infty,0]\cup[2,4]\cup[5,\infty)$	$kckcA$	$[0,2]\cup[5,\infty)$
$ckckA$	$(0,2)\cup(4,5)$	$ckckcA$	$(-\infty,0)\cup(2,5)$
$kckckA$	$[0,2]\cup[4,5]$	$kckckcA$	$(-\infty,0]\cup[2,5]$
$ckckckA$	$(-\infty,0)\cup(2,4)\cup(5,\infty)$	$ckckckcA$	$(0,2)\cup(5,\infty)$