이차곡선 위의 점의 좌표를 통해 접선의 방정식 구하기

이차곡선 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서 그은 접선의 방정식을 구해보자.

 

 

이차곡선의 방정식을 $x$에 대해 미분하면 다음 식을 얻는다.

 

$2Ax+By+Bx{\displaystyle \frac{dy}{dx}}+2Cy{\displaystyle \frac{dy}{dx}}+D+E{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$

 

$\therefore {\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{2Ax+By+D}{Bx+2Cy+E}}$

 

 

$(x_1,y_1)$에서 그은 접선의 기울기는 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}{|}_{(x_1,y_1)}=-{\displaystyle \frac{2A{x}_1+B{y}_1+D}{B{x}_1+2C{y}_1+E}}$이므로 접선의 방정식은 다음과 같다.

 

$y-y_1={\displaystyle \frac{dy}{dx}}{|}_{(x_1,y_1)}(x-x_1)$

 

$(2A{x}_1+B{y}_1+D)(x-x_1)+(B{x}_1+2C{y}_1+E)(y-y_1)=0$

 

$2A{x}_{1}x+Bx{y}_1+B{x}_{1}y+2C{y}_{1}y+Dx+Ey-2A{x}_1^2-2B{x}_1{y}_1-2C{y}_1^2-D{x}_1-E{y}_1=0$

 

 

$(x_1,y_1)$은 주어진 이차곡선 위의 점이므로 $A{x}_1^2+B{x}_1{y}_1+C{y}_1^2+D{x}_1+E{y}_1+F=0$이 성립한다.

 

$\therefore -2A{x}_1^2-2B{x}_1{y}_1-2C{y}_1^2-D{x}_1-E{y}_1=D{x}_1+E{y}_1+2F$

 

 

이를 이용하면 접선의 방정식은 다음과 같이 된다.

 

$2A{x}_{1}x+Bx{y}_1+B{x}_{1}y+2C{y}_{1}y+Dx+Ey+D{x}_1+E{y}_1+2F=0$

 

$A{x}_{1}x+B{\displaystyle \frac{x{y}_1+x_{1}y}{2}}+C{y}_{1}y+D{\displaystyle \frac{x+x_1}{2}}+E{\displaystyle \frac{y+y_1}{2}}+F=0$

 

 

이 식을 처음 이차곡선의 식과 비교하면 다음 변환으로 접선의 방정식을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다.

 

$x^2\to x_{1}x{y}^2\to y_{1}yxy\to {\displaystyle \frac{x{y}_1+x_{1}y}{2}}x\to {\displaystyle \frac{x+x_1}{2}}y\to {\displaystyle \frac{y+y_1}{2}}$

 

 

이차곡선을 평행이동시키면 어떻게 될까?

 

$(x_1-m)(x-m)=x_{1}x-mx-m{x}_1+m^2=x_{1}x-2m{\displaystyle \frac{x+x_1}{2}}+m^2$

 

$(x-m{)}^2$에 변환을 적용한 것과 $x^2-2mx+m^2$에 변환을 적용한 것이 일치한다.

 

 

$(x-m)(y-n)=xy-nx-my+mn$에도 변환을 적용해보자.

 

${\displaystyle \frac{(x_1-m)(y-n)+(x-m)(y_1-n)}{2}}={\displaystyle \frac{x_{1}y+x{y}_1}{2}}-n{\displaystyle \frac{x+x_1}{2}}-m{\displaystyle \frac{y+y_1}{2}}+mn$

 

 

$(x-m)=x-m$에도 적용해보자.

 

${\displaystyle \frac{(x-m)+(x_1-m)}{2}}={\displaystyle \frac{x+x_1}{2}}-m$

 

이를 통해 변환 후 평행이동 하는 것과 평행이동 후 변환하는 것의 결과가 같다는 것을 알 수 있다.

 

즉, 접선의 방정식을 평행이동한 것은 평행이동한 이차곡선의 접선의 방정식과 같다는 뜻이다.