이차곡선 위의 점의 좌표를 통해 접선의 방정식 구하기

이차곡선 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서 그은 접선의 방정식을 구해보자.

 

 

이차곡선의 방정식을 $x$에 대해 미분하면 다음 식을 얻는다.

 

$2Ax+By+Bx\dfrac{dy}{dx}+2Cy\dfrac{dy}{dx}+D+E\dfrac{dy}{dx}=0$

 

$\therefore\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2Ax+By+D}{Bx+2Cy+E}$

 

 

$(x_1, y_1)$에서 그은 접선의 기울기는 $\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(x_1,y_1)}=-\dfrac{2Ax_1+By_1+D}{Bx_1+2Cy_1+E}$이므로 접선의 방정식은 다음과 같다.

 

$y-y_1=\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(x_1,y_1)}(x-x_1)$

 

$(2Ax_1+By_1+D)(x-x_1)+(Bx_1+2Cy_1+E)(y-y_1)=0$

 

$2Ax_1x+Bxy_1+Bx_1y+2Cy_1y+Dx+Ey-2Ax_1^2-2Bx_1y_1-2Cy_1^2-Dx_1-Ey_1=0$

 

 

$(x_1,y_1)$은 주어진 이차곡선 위의 점이므로 $Ax_1^2+Bx_1y_1+Cy_1^2+Dx_1+Ey_1+F=0$이 성립한다.

 

$\therefore -2Ax_1^2-2Bx_1y_1-2Cy_1^2-Dx_1-Ey_1=Dx_1+Ey_1+2F$

 

 

이를 이용하면 접선의 방정식은 다음과 같이 된다.

 

$2Ax_1x+Bxy_1+Bx_1y+2Cy_1y+Dx+Ey+Dx_1+Ey_1+2F=0$

 

$Ax_1x+B\dfrac{xy_1+x_1y}{2}+Cy_1y+D\dfrac{x+x_1}{2}+E\dfrac{y+y_1}{2}+F=0$

 

 

이 식을 처음 이차곡선의 식과 비교하면 다음 변환으로 접선의 방정식을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다.

 

$x^2\to x_1x\quad y^2\to y_1y\quad xy\to \dfrac{xy_1+x_1y}{2}\quad x\to \dfrac{x+x_1}{2}\quad y\to \dfrac{y+y_1}{2}$

 

 

이차곡선을 평행이동시키면 어떻게 될까?

 

$(x_1-m)(x-m)=x_1x-mx-mx_1+m^2=x_1x-2m\dfrac{x+x_1}{2}+m^2$

 

$(x-m)^2$에 변환을 적용한 것과 $x^2-2mx+m^2$에 변환을 적용한 것이 일치한다.

 

 

$(x-m)(y-n)=xy-nx-my+mn$에도 변환을 적용해보자.

 

$\dfrac{(x_1-m)(y-n)+(x-m)(y_1-n)}{2}=\dfrac{x_1y+xy_1}{2}-n\dfrac{x+x_1}{2}-m\dfrac{y+y_1}{2}+mn$

 

 

$(x-m)=x-m$에도 적용해보자.

 

$\dfrac{(x-m)+(x_1-m)}{2}=\dfrac{x+x_1}{2}-m$

 

이를 통해 변환 후 평행이동 하는 것과 평행이동 후 변환하는 것의 결과가 같다는 것을 알 수 있다.

 

즉, 접선의 방정식을 평행이동한 것은 평행이동한 이차곡선의 접선의 방정식과 같다는 뜻이다.