사건의 독립, 쌍으로 독립, 상호 독립

두 사건 $A$와 $B$에 대해 $A$와 $B$가 서로의 확률에 영향을 미치지 않으면 $A$와 $B$는 서로 독립이다.

 

이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

$P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B)$,  $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)$

 

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$이 성립하면 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이다.

 

 

세 사건의 독립을 정의하려면 어떻게 해야할까?

 

단순하게 생각하면 위의 식을 일반화하여 $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$을 생각해볼 수 있다.

 

하지만 다음 경우를 보면 이 조건만으로는 독립이라고 부르기엔 부족하다.

 

$x,y,z$가 $0$ 또는 $1$의 값을 가지는 순서쌍 $(x,y,z)$에 대해 각 순서쌍에 대한 확률은 다음과 같다.

 

$P(1,1,1)=P(1,0,0)=P(0,1,1)=P(0,0,0)=\dfrac{1}{8}, P(1,1,0)=P(0,0,1)=\dfrac{1}{4}$

 

사건 $A, B, C$를 각각 $x,y,z$가 $1$이 되는 사건으로 정의하자.

 

$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{2}, P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)=\dfrac{1}{8}$이다.

 

그러나 $(A,B), (B,C), (C,A)$ 중 어떤 쌍도 서로 독립이 아니다.

 

 

그렇다면 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$,  $P(B\cap C)=P(B)P(C)$,  $P(C\cap A)=P(C)P(A)$이면 충분할까?

 

이와 같이 주어진 사건들을 둘씩 묶었을 때 서로 독립이 되는 것을 쌍으로 독립(pairwise independent)이라고 한다.

 

아쉽게도 쌍으로 독립인 경우에도 세 사건이 서로 독립이라고 부르기엔 무리가 있다.

 

$S={(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1)}$에 대해서 $A,B,C$를 이전과 같이 정의하자.

 

세 사건이 서로 독립이지만 $P(A\cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}\ne\dfrac{1}{8}=P(A)P(B)P(C)$이다.

 

 

따라서 세 사건이 독립이 되려면 다음의 네 조건이 모두 필요하고, 만족하면 세 사건이 상호 독립(mutually independent)이라 한다.

 

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$,  $P(B\cap C)=P(B)P(C)$,  $P(C\cap A)=P(C)P(A)$

 

$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$

 

 

$n$개의 사건 $A_1,A_2,\cdots,A_n$에 대해서는 $1,2,\cdots,n$의 임의의 순열 ${a_n}$과 모든 $1\le k \le n$에 대해서 $P(A_{a_1}\cap A_{a_2} \cap \cdots \cap A_{a_k})=P(A_{a_1})P(A_{a_2})\cdots P(A_{a_k})$이 성립할 때, 상호 독립이라고 한다.