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수학

사건의 독립, 쌍으로 독립, 상호 독립

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두 사건 AB에 대해 AB가 서로의 확률에 영향을 미치지 않으면 AB는 서로 독립이다.

 

이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)

 

P(AB)=P(A)P(B)이 성립하면 두 사건 A, B는 서로 독립이다.

 

 

세 사건의 독립을 정의하려면 어떻게 해야할까?

 

단순하게 생각하면 위의 식을 일반화하여 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)을 생각해볼 수 있다.

 

하지만 다음 경우를 보면 이 조건만으로는 독립이라고 부르기엔 부족하다.

 

x,y,z0 또는 1의 값을 가지는 순서쌍 (x,y,z)에 대해 각 순서쌍에 대한 확률은 다음과 같다.

 

P(1,1,1)=P(1,0,0)=P(0,1,1)=P(0,0,0)=18,P(1,1,0)=P(0,0,1)=14

 

사건 A,B,C를 각각 x,y,z1이 되는 사건으로 정의하자.

 

P(A)=P(B)=P(C)=12,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=18이다.

 

그러나 (A,B),(B,C),(C,A) 중 어떤 쌍도 서로 독립이 아니다.

 

 

그렇다면 P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)이면 충분할까?

 

이와 같이 주어진 사건들을 둘씩 묶었을 때 서로 독립이 되는 것을 쌍으로 독립(pairwise independent)이라고 한다.

 

아쉽게도 쌍으로 독립인 경우에도 세 사건이 서로 독립이라고 부르기엔 무리가 있다.

 

S=(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1)에 대해서 A,B,C를 이전과 같이 정의하자.

 

세 사건이 서로 독립이지만 P(ABC)=1418=P(A)P(B)P(C)이다.

 

 

따라서 세 사건이 독립이 되려면 다음의 네 조건이 모두 필요하고, 만족하면 세 사건이 상호 독립(mutually independent)이라 한다.

 

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)

 

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

 

 

n개의 사건 A1,A2,,An에 대해서는 1,2,,n의 임의의 순열 an과 모든 1kn에 대해서 P(Aa1Aa2Aak)=P(Aa1)P(Aa2)P(Aak)이 성립할 때, 상호 독립이라고 한다.

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