바나흐 고정점 정리 Banach Fixed-Point Thm

거리 함수 $d$를 가지는 거리 공간(metric space) $X$에서 정의된 함수 $\varphi$에 대하여 $\forall x, y \in X,  d(\varphi(x),\varphi(y))\le c \cdot d(x,y)$을 만족하는 $c<1$이 존재하면 $\varphi$를 축약사상(contraction mapping)이라고 한다.

축약사상이 균등연속(uniformly continuous)라는 것은 그 정의에서 쉽게 알 수 있다.

 

$X$에 있는 임의의 점 $x_0$부터 시작해 $\varphi$를 계속해서 적용해서 얻는 수열 $\{x_n\}$을 생각해보자.

$x_{n+1}=\varphi(x_n)$이므로 $d(x_{n+1},x_n)=d(\varphi(x_n),\varphi(x_{n-1}))\le c\cdot d(x_n,x_{n-1})$이고, 귀납법을 이용하면 $d(x_{n+1},x_n)\le c^n\cdot d(x_1,x_0)$을 얻을 수 있다.

 

$n<m$에 대해

$\begin{align*}d(x_n,x_m)&\le\sum\limits^m_{i=n+1}d(d_i,d_{i-1})\\&\le(c^n+c^{n+1}+\cdots+c^{m-1})d(x_1,x_0)\\&\le c^n(1-c)^{-1}d(x_1,x_0)\end{align*}$

이므로 $\{x_n\}$은 코시 수열이다.

 

$X$가 완비라면 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n =x\in X$가 존재하고,

$\varphi(x)=\varphi\left(\lim\limits_{n\to\infty} x_n\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\varphi(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=x$이므로 $x$는 $\varphi$의 고정점이 된다.

 

이러한 고정점이 유일함을 증명해보자.
$\varphi(x)=x, \varphi(y)=y$를 만족하는 $x,y$가 존재한다고 가정하자.
$d(x,y)=d(\varphi(x),\varphi(y))\le c\cdot d(x,y)$이므로 $d(x,y)=0$, 즉 $x=y$이다.

 

이로부터 바나흐 고정점 정리(Banach fixed-point theorem) 혹은 축약 사상 정리(Contraction mapping theorem)를 얻는다.

$X$가 완비거리공간(complete metric space)이고, $\varphi$가 $X$에서 정의된 축약사상이면 $\varphi$는 유일한 고정점을 가진다.