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수학

바나흐 고정점 정리 Banach Fixed-Point Thm

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거리 함수 d를 가지는 거리 공간(metric space) X에서 정의된 함수 φ에 대하여
x,yX,d(φ(x),φ(y))cd(x,y)을 만족하는 c<1이 존재하면 φ를 축약사상(contraction mapping)이라고 한다.

축약사상이 균등연속(uniformly continuous)라는 것은 그 정의에서 쉽게 알 수 있다.

 

X에 있는 임의의 점 x0부터 시작해 φ를 계속해서 적용해서 얻는 수열 {xn}을 생각해보자.

xn+1=φ(xn)이므로 d(xn+1,xn)=d(φ(xn),φ(xn1))cd(xn,xn1)이고, 귀납법을 이용하면 d(xn+1,xn)cnd(x1,x0)을 얻을 수 있다.

 

n<m에 대해

d(xn,xm)mi=n+1d(di,di1)(cn+cn+1++cm1)d(x1,x0)cn(1c)1d(x1,x0)

이므로 {xn}은 코시 수열이다.

 

X가 완비라면 limnxn=xX가 존재하고,

φ(x)=φ(limnxn)=limnφ(xn)=limnxn+1=x이므로 xφ의 고정점이 된다.

 

이러한 고정점이 유일함을 증명해보자.
φ(x)=x,φ(y)=y를 만족하는 x,y가 존재한다고 가정하자.
d(x,y)=d(φ(x),φ(y))cd(x,y)이므로 d(x,y)=0, 즉 x=y이다.

 

이로부터 바나흐 고정점 정리(Banach fixed-point theorem) 혹은 축약 사상 정리(Contraction mapping theorem)를 얻는다.

X가 완비거리공간(complete metric space)이고, φX에서 정의된 축약사상이면 φ는 유일한 고정점을 가진다.

 

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