행렬로 유리함수의 역함수 구하기

두 다항식의 비로 표현되는 함수를 유리함수라고 부른다.

그중 고등학교 과정에서 다루는 것은 일차식의 비로 나타나는 $y={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$ 꼴이다.

이를 연립방정식으로 표현하면 다음과 같다.

$\{\begin{array}{l}ax+b=ky\\ cx+d=k\end{array}$

여기서 $k$는 $0$이 아닌 임의의 실수이다.

이 연립방정식을 행렬로 표현해보자.

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}y\\ 1\end{array}\right]$

$ad-bc\ne 0$이면 $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$의 역행렬이 존재한다.

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$이므로

$\left[\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right]={\displaystyle \frac{k}{ad-bc}}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}y\\ 1\end{array}\right]$을 얻는다.

$\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}y\\ 1\end{array}\right]={\displaystyle \frac{ad-bc}{k}}\left[\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right]$

이를 다시 유리함수 꼴로 바꾸면 $x={\displaystyle \frac{dy-b}{-cy+a}}$가 된다.

따라서 $y={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$가 역함수를 가질 조건은 $ad-bc\ne 0$이고 그때 역함수는 $y={\displaystyle \frac{dx-b}{-cx+a}}$이다.

참고로 $ad-bc=0$인 경우는 두 일차식의 비가 일정할 때이므로 상수함수가 된다.