행렬로 유리함수의 역함수 구하기

두 다항식의 비로 표현되는 함수를 유리함수라고 부른다.

그중 고등학교 과정에서 다루는 것은 일차식의 비로 나타나는 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 꼴이다.

이를 연립방정식으로 표현하면 다음과 같다.

$\begin{cases} ax+b=ky \\ cx+d=k \end{cases}$

여기서 $k$는 $0$이 아닌 임의의 실수이다.

이 연립방정식을 행렬로 표현해보자.

$ \left[ {\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ 1 \end{array}} \right] = k \left[ {\begin{array}{c} y \\ 1 \end{array}} \right]$

$ad-bc\ne0$이면 $\left[{\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}}\right]$의 역행렬이 존재한다.

$\left[{\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}}\right]^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\left[{\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}}\right]$이므로

$\left[{\begin{array}{c}x \\ 1\end{array}}\right]=\dfrac{k}{ad-bc}\left[{\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}}\right]\left[ {\begin{array}{c} y \\ 1 \end{array}} \right]$을 얻는다.

$\left[{\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}}\right]\left[ {\begin{array}{c} y \\ 1 \end{array}} \right] = \dfrac{ad-bc}{k} \left[{\begin{array}{c}x \\ 1\end{array}}\right]$

이를 다시 유리함수 꼴로 바꾸면 $x=\dfrac{dy-b}{-cy+a}$가 된다.

따라서 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$가 역함수를 가질 조건은 $ad-bc\ne0$이고 그때 역함수는 $y=\dfrac{dx-b}{-cx+a}$이다.

참고로 $ad-bc=0$인 경우는 두 일차식의 비가 일정할 때이므로 상수함수가 된다.