자연상수 e의 급수 표현과 무리수 증명

자연로그의 밑인 $e$를 흔히 자연상수라고 부른다.

오일러 수라고도 부르지만 오일러 이름이 붙은 수가 너무 많아서 잘 쓰이진 않는 명칭이다.

 

$e$는 다양하게 정의될 수 있지만 다음의 두 가지 정의가 가장 흔하게 쓰인다.

$e=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n, \quad e=\sum^\infty_{n=0}\frac{1}{n!}$

 

$e^x$의 테일러 급수를 안다면 $e$의 급수 표현은 쉽게 유도할 수 있지만 고등학교 범위에서도  증명할 수 있다.

이번 포스트에서는 두 정의가 같다는 것을 보이고, 급수 표현을 통해 $e$가 무리수임을 보일 것이다.

 

 

$a_n=(1+\frac{1}{n})^n, \quad b_n=\displaystyle\sum^{n}_{k=0}\frac{1}{k!}$로 두자.

 

충분히 큰 $n$에 대하여 $n! \ge 2^n$이므로 $\dfrac{1}{n!}\le\dfrac{1}{2^n}$이고, 이를 통해 $b_n$이 수렴함은 쉽게 알 수 있다.

 

$\begin{align*} a_n &= (1+\frac{1}{n})^n \\ &= 1 + _nC _1 \frac{1}{n} + _n C _2 \frac{1}{n^2} + \cdots + _n C _n \frac{1}{n^n} \\ &= 1 + n \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots +\frac{n(n-1)\cdots 1}{n!}\frac{1}{n^n} \\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2} \frac{n(n-1)}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n!}\frac{n(n-1)\cdots 1}{n^n} \\ &\le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n!} \\ &= \displaystyle\sum^n_{k=0}\frac{1}{k!} \\ &= b_n \end{align*} $

 

$\therefore\displaystyle a_n \le b_n, \quad \lim_{n\rightarrow\infty}a_n \le \lim_{n\rightarrow\infty}b_n$

 

 

$n\ge m$인 임의의 자연수 $n, m$에 대하여

$\begin{align*} a_n&= (1+\frac{1}{n})^n \\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2} \frac{n(n-1)}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n!}\frac{n(n-1)\cdots 1}{n^n} \\ &\ge 1 + 1 + \frac{1}{2} \frac{n(n-1)}{n^2} + \cdots + \frac{1}{m!}\frac{n(n-1)\cdots (n-m)}{n^m} \end{align*} $

 

이므로

$\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_n &\ge \lim_{n\rightarrow\infty}(1 + 1 + \frac{1}{2} \frac{n(n-1)}{n^2} + \cdots + \frac{1}{m!}\frac{n(n-1)\cdots (n-m)}{n^m}) \\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{m!} \\ &= b_m \end{align*}$

 

$\therefore \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n \ge \lim_{m\rightarrow\infty}b_m$

 

따라서 두 극한값은 같다.

 

이제 $e$가 무리수임을 보이자.

귀류법을 사용하기 위해 $e$가 유리수라고 가정하자.

$e=\dfrac{p}{q} \quad (p,q\in\mathbb{N}, q\ne0)$를 만족하는 $p$와 $q$가 존재한다.

$\begin{align*} e-b_q & = \displaystyle\sum^\infty_{k=q+1}\frac{1}{k!} \\ & = \frac{1}{(q+1)!} + \frac{1}{(q+2)!} + \cdots \\ & = \frac{1}{(q+1)!}(1+\frac{1}{q+2}+\frac{1}{(q+2)(q+3)} + \cdots) \\ & < \frac{1}{(q+1)!}(1+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^2} + \cdots) \\ & = \frac{1}{(q+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}}\\ & = \frac{1}{(q+1)!}\frac{q+1}{q} \\ & = \frac{1}{q!q} \end{align*}$

 

$\therefore 0<q!(e-b_q)<\dfrac{1}{q} $

 

이때, $eq!=p(q-1)!$이고, $b_qq!=q!\displaystyle\sum^q_{k=0}\frac{1}{k!}=q!+q!+\cdots+1$이므로 $q!(e-b_q)$는 정수다.

하지만 0보다 크고 $\dfrac{1}{q}$보다 작은 정수는 존재하지 않으므로 모순.

따라서 $e$는 무리수다.