자연상수 e의 급수 표현과 무리수 증명

자연로그의 밑인 $e$를 흔히 자연상수라고 부른다.

오일러 수라고도 부르지만 오일러 이름이 붙은 수가 너무 많아서 잘 쓰이진 않는 명칭이다.

 

$e$는 다양하게 정의될 수 있지만 다음의 두 가지 정의가 가장 흔하게 쓰인다.

$e={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n,e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}}$

 

$e^x$의 테일러 급수를 안다면 $e$의 급수 표현은 쉽게 유도할 수 있지만 고등학교 범위에서도  증명할 수 있다.

이번 포스트에서는 두 정의가 같다는 것을 보이고, 급수 표현을 통해 $e$가 무리수임을 보일 것이다.

 

 

$a_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n,b_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}}$로 두자.

 

충분히 큰 $n$에 대하여 $n!\ge 2^n$이므로 ${\displaystyle \frac{1}{n!}}\le {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$이고, 이를 통해 $b_n$이 수렴함은 쉽게 알 수 있다.

 

$\begin{array}{rl}{a}_n& =(1+\frac{1}{n}{)}^n\\ & =1{+}_n{C}_1\frac{1}{n}{+}_n{C}_2\frac{1}{n^2}+\cdots {+}_n{C}_n\frac{1}{n^n}\\ & =1+n\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2}\frac{1}{n^2}+\cdots +\frac{n(n-1)\cdots 1}{n!}\frac{1}{n^n}\\ & =1+1+\frac{1}{2}\frac{n(n-1)}{n^2}+\cdots +\frac{1}{n!}\frac{n(n-1)\cdots 1}{n^n}\\ & \le 1+1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n!}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}}\\ & =b_n\end{array}$

 

$\therefore {\displaystyle a_n\le b_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}$

 

 

$n\ge m$인 임의의 자연수 $n,m$에 대하여

$\begin{array}{rl}{a}_n& =(1+\frac{1}{n}{)}^n\\ & =1+1+\frac{1}{2}\frac{n(n-1)}{n^2}+\cdots +\frac{1}{n!}\frac{n(n-1)\cdots 1}{n^n}\\ & \ge 1+1+\frac{1}{2}\frac{n(n-1)}{n^2}+\cdots +\frac{1}{m!}\frac{n(n-1)\cdots (n-m)}{n^m}\end{array}$

 

이므로

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n& \ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+1+\frac{1}{2}\frac{n(n-1)}{n^2}+\cdots +\frac{1}{m!}\frac{n(n-1)\cdots (n-m)}{n^m})\\ & =1+1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{m!}\\ & =b_m\end{array}$

 

$\therefore {\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ge \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_m}$

 

따라서 두 극한값은 같다.

 

이제 $e$가 무리수임을 보이자.

귀류법을 사용하기 위해 $e$가 유리수라고 가정하자.

$e={\displaystyle \frac{p}{q}}(p,q\in \mathbb{N},q\ne 0)$를 만족하는 $p$와 $q$가 존재한다.

$\begin{array}{rl}e-b_q& ={\displaystyle \sum _{k=q+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}}\\ & =\frac{1}{(q+1)!}+\frac{1}{(q+2)!}+\cdots \\ & =\frac{1}{(q+1)!}(1+\frac{1}{q+2}+\frac{1}{(q+2)(q+3)}+\cdots )\\ & <\frac{1}{(q+1)!}(1+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1{)}^2}+\cdots )\\ & =\frac{1}{(q+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}}\\ & =\frac{1}{(q+1)!}\frac{q+1}{q}\\ & =\frac{1}{q!q}\end{array}$

 

$\therefore 0<q!(e-b_q)<{\displaystyle \frac{1}{q}}$

 

이때, $eq!=p(q-1)!$이고, $b_{q}q!=q!{\displaystyle \sum _{k=0}^q\frac{1}{k!}=q!+q!+\cdots +1}$이므로 $q!(e-b_q)$는 정수다.

하지만 0보다 크고 ${\displaystyle \frac{1}{q}}$보다 작은 정수는 존재하지 않으므로 모순.

따라서 $e$는 무리수다.