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조건문 : 공허한 참 & 충분조건과 필요조건 조건문에서 전건이 거짓인 경우 그 조건문은 참이 된다. 다시 말해 $p\to q$에서 $p$가 거짓인 경우, $q$가 참이든 거짓이든 $p\to q$은 참이 된다는 것이다. 가령 "내일 날이 맑으면 소풍을 가자"라고 말했다고 해보자. 다음 날이 되어서 날이 맑았을 때 소풍을 갔다면 진실을 이야기 한 것이고 가지 않았다면 거짓말을 한 것이다. 그런데 다음 날이 되어서 비가 온다면? 소풍을 갈 수도 있고 안 갈 수도 있겠지만 어떤 행동을 취하던 거짓말을 한 것은 아니다. "대회에서 우승하면 상금을 드립니다." 우승을 못했어도 상금을 받을 수도 있지 않은가? 물론 못 받는 것이 더 당연해보인다. 하지만 $p\to q$은 $p$로부터 $q$를 얻을 수 있다는 뜻이지 않나? $p$가 거짓이면 이 명제를 통해 알 ..
[210721] 2021년 7월 학평 21번 공차가 $d$이고 모든 항이 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1\le d$ (나) 어떤 자연수 $k$ $(k\ge3)$에 대하여 세 항 $a_2$, $a_k$, $a_{3k-1}$이 이 순서대로 등비수열을 이룬다. $90\le a_{16}\le100$일 때, $a_{20}$의 값을 구하시오. $a_1=a$라 하자. 모든 항이 자연수이므로 $a$, $d$는 모두 자연수이다. (나) 조건에서 $a_2$, $a_k$, $a_{3k-1}$이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $a_k^2=a_2\cdot a_{3k-1}$이 성립한다. $(a+(k-1)d)^2=(a+d)(a+(3k-2)d)$ $a^2+2(k-1)ad+(k^2-2k+1)d^2=a^2+(3k-1)ad+(3k-2..
[210715] 2021년 7월 학평 15번 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$에 대하여 방정식 $f'(x)=0$의 서로 다른 세 실근 $\alpha$, $0$, $\beta$ $(\alpha
[220629] 22 수능 6월 모평 기하 29번 포물선 $y^2=8x$와 직선 $y=2x-4$가 만나는 점 중 제$1$사분면 위에 있는 점을 $A$라 하자. 양수 $a$에 대하여 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$가 점 $A$를 지날 때, 직선 $y=2x-4$와 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$가 만나는 점 중 $A$가 아닌 점을 $B$라 하자. 두 점 $A$, $B$에서 직선 $x=-2$에 내린 수선의 발을 각각 $C$, $D$라 할 때, $\overline{AC}+\overline{BD}-\overline{AB}=k$이다. $k^2$의 값을 구하시오. $x=-2$는 포물선 $y^2=8x$의 준선이고, $y=2x-4$의 $x$절편을 $F$라 하면 $F(2,0)$은 그 초점이 된다. $y^2=8x$와 $y=2x-4$가 만나는 두 점 중 $A$..
[220621] 22 수능 6월 모평 21번 다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 존재하도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. (가) $x$에 대한 방정식 $(x^n-64)f(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다. (나) 함수 $f(x)$의 최솟값은 음의 정수이다. $x^n-64=0$은 $n$이 홀수일 때 하나의 실근만을 갖고, $n$이 짝수이면 서로 다른 두 실근을 가진다. $f(x)=0$의 서로 다른 실근은 많아야 $2$개이므로 (가) 조건을 만족시키려면 $n$은 짝수이고, $x^n-64=0$의 서로 다른 두 실근이 $f(x)=0$의 근이 되어야한다. $x^n=64$의 실근은 $\pm^n\sqrt{64}$이므로 $f(x)=(x-^n\sqrt{64})(x+^n\sqrt{..
[220628] 22 수능 6월 모평 확률과 통계 28번 한 개의 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $3$ 이하이면 나온 눈의 수를 점수로 얻고, 나온 눈의 수가 $4$ 이상이면 $0$점을 얻는다. 이 주사위를 네 번 던져 나온 눈의 수를 차례로 $a$, $b$, $c$, $d$라 할 때, 얻은 네 점수의 합이 $4$가 되는 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수는? $a$, $b$, $c$, $d$가 될 수 있는 수는 $0$, $1$, $2$, $3$이다. 이 네 수의 합으로 $4$를 표현하는 방법은 순서를 무시했을 때, $(3,1,0,0)$, $(2,2,0,0)$, $(2,1,1,0)$, $(1,1,1,1)$뿐이다. i) $(3,1,0,0)$ 배열하는 방법의 수는 $\dfrac{4!}{2!}=12$이고 $0$이 될 수 있는 눈은 $4$, $5$, $6..
[220629] 22 수능 6월 모평 확률과 통계 29번 $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $6$개의 의자가 있다. 이 $6$개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 $2$개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 $12$가 되지 않도록 배열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 여섯개의 의자를 배열하는 경우의 수는 $\dfrac{6!}{6}=120$가지이다. $2$와 $6$, 그리고 $3$과 $4$가 이웃하는 경우만 빼주면 된다. i) $2$와 $6$이 이웃하는 경우 해당하는 두 의자를 하나로 봐서 다섯 의자를 배열한 뒤, $2$와 $6$의 순서를 정해주면 된다. $\dfrac{5!}{5}\times2=48$ ii) $3$과 $4$가 이웃하는 경우 i)과 같이 $48$ iii) $2$와..
[220630] 22 수능 6월 모평 확률과 통계 30번 숫자 $1$, $2$, $3$이 하나씩 적혀 있는 $3$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $5$번 반복하여 확인한 $5$개의 수의 곱이 $6$의 배수일 확률이 $\dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) $5$개의 수의 곱이 $6$의 배수이려면 $2$와 $3$이 적어도 한 번씩은 나와야한다. 여사건의 확률을 생각하자. $1$, $2$에서만 나오는 확률은 $\dfrac{2^5}{3^5}$, $1$, $3$에서만 나오는 확률은 $\dfrac{2^5}{3^5}$이다. 두 사건이 동시에 일어날 확률은 $1$만 나오는 사건의 확률이므로..

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