[220629] 22 수능 6월 모평 기하 29번

포물선 $y^2=8x$와 직선 $y=2x-4$가 만나는 점 중 제$1$사분면 위에 있는 점을 $A$라 하자. 양수 $a$에 대하여 포물선 $(y-2a{)}^2=8(x-a)$가 점 $A$를 지날 때, 직선 $y=2x-4$와 포물선 $(y-2a{)}^2=8(x-a)$가 만나는 점 중 $A$가 아닌 점을 $B$라 하자. 두 점 $A$, $B$에서 직선 $x=-2$에 내린 수선의 발을 각각 $C$, $D$라 할 때, $\overline{AC}+\overline{BD}-\overline{AB}=k$이다. $k^2$의 값을 구하시오.

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$x=-2$는 포물선 $y^2=8x$의 준선이고, $y=2x-4$의 $x$절편을 $F$라 하면 $F(2,0)$은 그 초점이 된다. 

 

$y^2=8x$와 $y=2x-4$가 만나는 두 점 중 $A$가 아닌 것을 $E$라 하고, $E$에서 $x=-2$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자.

$(y-2a{)}^2=8(x-a)$는 $y^2=8x$를 $(a,2a)$만큼 평행이동한 포물선이고, $y=2x-4$는 $(a,2a)$만큼 평행이동하면 자기자신이 되기 때문에 $A$와 $B$는 각각 $E$와 $A$가 $(a,2a)$만큼 평행이동된 점이다.

 

$A$, $E$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하자.

$E$를 $(a,2a)$만큼 평행이동하면 $A$가 되므로 $\alpha -\beta =a$이다.

$A$를 $(a,2a)$만큼 평행이동하면 $B$가 되므로 $B$의 $x$좌표는 $\alpha +a=\alpha +(\alpha -\beta )=2\alpha -\beta$가 된다.

$\therefore \overline{BD}=2+2\alpha -\beta ,\overline{AC}=2+\alpha$

 

포물선의 정의에 따라 $\overline{AF}=\overline{AC}=2+\alpha$, $\overline{EF}=\overline{EH}=2+\beta$

$\overline{AB}=\overline{EA}=\overline{EF}+\overline{FA}=(2+\beta )+(2+\alpha )=4+\alpha +\beta$

 

$k=\overline{AC}+\overline{BD}-\overline{AB}=(2+\alpha )+(2+2\alpha -\beta )-(4+\alpha +\beta )=2(\alpha -\beta )$

 

$A$, $E$는 $y^2=8x$와 $y=2x-4$의 교점이므로 $\alpha$, $\beta$는 $(2x-4{)}^2=8x$의 두 근이다.

식을 정리하면 $x^2-6x+4=0$이 되고 근과 계수의 관계에서 $\alpha +\beta =6$, $\alpha \beta =4$

 

$\therefore k^2=4(\alpha -\beta {)}^2=4((\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta )=80$