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문제풀이

[210721] 2021년 7월 학평 21번

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공차가 dd이고 모든 항이 자연수인 등차수열 {an}{an}이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) a1da1d
(나) 어떤 자연수 kk (k3)(k3)에 대하여 세 항 a2a2, akak, a3k1a3k1이 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

90a1610090a16100일 때, a20a20의 값을 구하시오.


a1=aa1=a라 하자.
모든 항이 자연수이므로 aa, dd는 모두 자연수이다.

(나) 조건에서 a2a2, akak, a3k1a3k1이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 a2k=a2a3k1a2k=a2a3k1이 성립한다.
(a+(k1)d)2=(a+d)(a+(3k2)d)(a+(k1)d)2=(a+d)(a+(3k2)d)
a2+2(k1)ad+(k22k+1)d2=a2+(3k1)ad+(3k2)d2a2+2(k1)ad+(k22k+1)d2=a2+(3k1)ad+(3k2)d2
(2k2)a+(k22k+1)d=(3k1)a+(3k2)d(2k2)a+(k22k+1)d=(3k1)a+(3k2)d
(k+1)a=(k25k+3)d(k+1)a=(k25k+3)d

adad이므로 k+1k25k+3k+1k25k+3이 성립한다.
k26k+20k26k+20에서 37k3+737k3+7
kk33 이상인 자연수이므로 33, 44, 55가 가능하다.

i) k=3k=3일 때
(k+1)a=(k25k+3)d(k+1)a=(k25k+3)d에서 4a=3d4a=3d
aa, dd가 모두 자연수임에 모순

ii) k=4k=4일 때
(k+1)a=(k25k+3)d(k+1)a=(k25k+3)d에서 5a=d5a=d
aa, dd가 모두 자연수임에 모순

iii) k=5k=5일 때
(k+1)a=(k25k+3)d(k+1)a=(k25k+3)d에서 2a=d2a=d

따라서 kk55이고 d=2ad=2a이다.

90a16=a+15d=31a10090a16=a+15d=31a100에서 a=3a=3

a20=a+19d=39a=117a20=a+19d=39a=117

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