[210721] 2021년 7월 학평 21번

공차가 $d$이고 모든 항이 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_1\le d$ (나) 어떤 자연수 $k$ $(k\ge3)$에 대하여 세 항 $a_2$, $a_k$, $a_{3k-1}$이 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

$90\le a_{16}\le100$일 때, $a_{20}$의 값을 구하시오.

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$a_1=a$라 하자.
모든 항이 자연수이므로 $a$, $d$는 모두 자연수이다.

(나) 조건에서 $a_2$, $a_k$, $a_{3k-1}$이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $a_k^2=a_2\cdot a_{3k-1}$이 성립한다.
$(a+(k-1)d)^2=(a+d)(a+(3k-2)d)$
$a^2+2(k-1)ad+(k^2-2k+1)d^2=a^2+(3k-1)ad+(3k-2)d^2$
$(2k-2)a+(k^2-2k+1)d=(3k-1)a+(3k-2)d$
$(k+1)a=(k^2-5k+3)d$

$a\le d$이므로 $k+1 \ge k^2-5k+3$이 성립한다.
$k^2-6k+2\le0$에서 $3-\sqrt7\le k\le3+\sqrt7$
$k$는 $3$ 이상인 자연수이므로 $3$, $4$, $5$가 가능하다.

i) $k=3$일 때
$(k+1)a=(k^2-5k+3)d$에서 $4a=-3d$
$a$, $d$가 모두 자연수임에 모순

ii) $k=4$일 때
$(k+1)a=(k^2-5k+3)d$에서 $5a=-d$
$a$, $d$가 모두 자연수임에 모순

iii) $k=5$일 때
$(k+1)a=(k^2-5k+3)d$에서 $2a=d$

따라서 $k$는 $5$이고 $d=2a$이다.

$90\le a_{16}=a+15d=31a\le100$에서 $a=3$

$a_{20}=a+19d=39a=117$