[220621] 22 수능 6월 모평 21번

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 존재하도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오.

(가) $x$에 대한 방정식 $(x^n-64)f(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다. (나) 함수 $f(x)$의 최솟값은 음의 정수이다.

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$x^n-64=0$은 $n$이 홀수일 때 하나의 실근만을 갖고, $n$이 짝수이면 서로 다른 두 실근을 가진다.

$f(x)=0$의 서로 다른 실근은 많아야 $2$개이므로 (가) 조건을 만족시키려면 $n$은 짝수이고, $x^n-64=0$의 서로 다른 두 실근이 $f(x)=0$의 근이 되어야한다.

$x^n=64$의 실근은 ${\pm }^n\sqrt{64}$이므로 $f(x)=(x{-}^n\sqrt{64})(x{+}^n\sqrt{64})=x^2-{64}^{2/n}$

$f(x)$의 최솟값은 $-{64}^{2/n}=-2^{12/n}$이다.

(나) 조건을 만족시키려면 $n$은 $12$의 약수여야한다.

따라서 가능한 자연수 $n$은 $12$의 약수 중 짝수인 $2$, $4$, $6$, $12$이다.

그 합은 $2+4+6+12=24$