[220630] 22 수능 6월 모평 확률과 통계 30번

숫자 $1$, $2$, $3$이 하나씩 적혀 있는 $3$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $5$번 반복하여 확인한 $5$개의 수의 곱이 $6$의 배수일 확률이 ${\displaystyle \frac{q}{p}}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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$5$개의 수의 곱이 $6$의 배수이려면 $2$와 $3$이 적어도 한 번씩은 나와야한다.

 

여사건의 확률을 생각하자.

$1$, $2$에서만 나오는 확률은 ${\displaystyle \frac{2^5}{3^5}}$, $1$, $3$에서만 나오는 확률은 ${\displaystyle \frac{2^5}{3^5}}$이다.

두 사건이 동시에 일어날 확률은 $1$만 나오는 사건의 확률이므로 ${\displaystyle \frac{1}{3^5}}$이다.

따라서 원하는 확률은 $1-{\displaystyle \frac{2^5+2^5-1}{3^5}}={\displaystyle \frac{20}{27}}$

 

$\therefore p=27,q=20,p+q=47$