[191130] 19 수능 가형 30번

최고차항의 계수가 $6\pi$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)={\displaystyle \frac{1}{2+\sin (f(x))}}$이 $x=\alpha$에서 극대 또는 극소이고, $\alpha \ge 0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4,{\alpha }_5,\cdots$라 할 때, $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) ${\alpha }_1=0$이고 $g({\alpha }_1)={\displaystyle \frac{2}{5}}$이다. (나) ${\displaystyle \frac{1}{g({\alpha }_5)}}={\displaystyle \frac{1}{g({\alpha }_2)}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$g^{\prime }(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=a\pi$라 할 때, $a^2$의 값을 구하시오. (단, $0<f(0)<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$)

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$-1\le \sin (f(x))\le 1$이므로 ${\displaystyle \frac{1}{3}}\le g(x)={\displaystyle \frac{1}{2+\sin (f(x))}}\le 1$이고 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분 가능하다.

 

$g(x)$가 $x=\alpha$에서 극대 혹은 극소가 되면 $g^{\prime }(\alpha )={\displaystyle \frac{\cos (f(\alpha ))f^{\prime }(\alpha )}{(2+\sin (f(\alpha )){)}^2}}=0$이다.

 

$\cos (f(\alpha ))f^{\prime }(\alpha )=0$에서 $\cos (f(\alpha ))=0$ 또는 $f^{\prime }(\alpha )=0$

 

 

(가) 조건을 살펴보자.

$g({\alpha }_1)={\displaystyle \frac{2}{5}}$이므로 $\sin (f({\alpha }_1))={\displaystyle \frac{1}{2}}$이다.

$\cos (f({\alpha }_1))\ne 0$이므로 $f^{\prime }({\alpha }_1)=0$이다.

${\alpha }_1=0$에서 $\sin (f(0))={\displaystyle \frac{1}{2}}$인데 $0<f(0)<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$이므로 $f(0)={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$이다.

$\therefore f(0)={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, $f^{\prime }(0)=0$

 

이제 (나) 조건을 보자.

$f^{\prime }(x)$는 이차식이므로 실근을 많아야 2개 가지는데 한 근은 ${\alpha }_1=0$이다.

따라서 ${\alpha }_2$, ${\alpha }_5$ 중 적어도 하나는 $f^{\prime }(x)=0$의 근이 아니다.

즉, $\cos (f({\alpha }_2))=0$ 또는 $\cos (f({\alpha }_5))=0$이다.

 

$\cos (f(\alpha ))=0$이면 $\sin (f(\alpha ))=\pm 1$이므로 $g(\alpha )={\displaystyle \frac{1}{3}}$ 또는 $g(\alpha )=1$이다.

 

i) $g({\alpha }_2)={\displaystyle \frac{1}{3}}$일 때

${\displaystyle \frac{1}{g({\alpha }_5)}}={\displaystyle \frac{1}{g({\alpha }_2)}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$에서 $g({\alpha }_5)={\displaystyle \frac{6}{5}}$이다.

${\displaystyle \frac{1}{3}}\le g(x)\le 1$이므로 불가능.

 

ii) $g({\alpha }_2)=1$일 때

$g({\alpha }_5)={\displaystyle \frac{2}{3}}$

 

iii) $g({\alpha }_5)={\displaystyle \frac{1}{3}}$일 때

$g({\alpha }_2)=-6$으로 불가능.

 

iv) $g({\alpha }_5)=1$일 때,

$g({\alpha }_2)=2$로 불가능.

 

$\therefore g({\alpha }_5)={\displaystyle \frac{2}{3}},f^{\prime }({\alpha }_5)=0$

 

$g({\alpha }_5)={\displaystyle \frac{1}{2+\sin (f({\alpha }_5))}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$에서 $\sin (f({\alpha }_5))=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

 

$f^{\prime }(x)=18\pi x(x-{\alpha }_5)$이므로 $f(x)$는 $(0,{\alpha }_5)$에서 감소한다.

${\displaystyle \frac{\pi }{6}}=f(0)>f({\alpha }_5)$이므로 $f({\alpha }_5)$가 될 수 있는 값은 $-{\displaystyle \frac{1}{6}}\pi ,-{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi ,-{\displaystyle \frac{11}{6}}\pi ,-{\displaystyle \frac{17}{6}}\pi ,\cdots$이다.

 

${\alpha }_5$는 $\cos (f(\alpha ))=0$ 또는 $f^{\prime }(\alpha )=0$을 만족하는 다섯번째로 작은 음이 아닌 실수이다.

${\alpha }_1=0$이므로 $(0,{\alpha }_5)$에 $\cos (f(\alpha ))=0$을 만족하는 $\alpha$가 셋 존재해야한다.

$(0,{\alpha }_5)$에서 $f(x)$는 감소하므로 구간 $(f({\alpha }_5),{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$ 안에 $\cos x=0$의 근이 셋 존재한다.

$\cos x=0$의 근은 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi ,-{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi ,-{\displaystyle \frac{5}{2}}\pi ,-{\displaystyle \frac{7}{2}}\pi ,\cdots$이므로 $-{\displaystyle \frac{7}{2}}\pi \le f({\alpha }_5)\le -{\displaystyle \frac{5}{2}}\pi$를 만족해야한다.

$\therefore f({\alpha }_5)=-{\displaystyle \frac{17}{6}}\pi$

 

$f^{\prime }(x)=18\pi x(x-{\alpha }_5)$에서 $f(x)=6\pi x^3-9\pi {\alpha }_5{x}^2+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

$f({\alpha }_5)=-{\displaystyle \frac{17}{6}}\pi$에서 ${\alpha }_5=1$을 얻는다.

$\therefore f(x)=6\pi x^3-9\pi x^2+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

 

이제 $g^{\prime }(-{\displaystyle \frac{1}{2}})$의 값을 계산만 하면 된다.

$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$을 대입하면 $f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{17}{6}}\pi$, $f^{\prime }(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{27}{2}}\pi$

$g^{\prime }(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{\cos (f(-{\displaystyle \frac{1}{2}}))f^{\prime }(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}{(2+\sin (f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})){)}^2}}=3\sqrt{3}\pi$

$a=3\sqrt{3}$, $a^2=27$