[191130] 19 수능 가형 30번

최고차항의 계수가 $6\pi$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}$이 $x=\alpha$에서 극대 또는 극소이고, $\alpha\ge0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5,\cdots$라 할 때, $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\alpha_1=0$이고 $g(\alpha_1)=\dfrac{2}{5}$이다. (나) $\dfrac{1}{g(\alpha_5)}=\dfrac{1}{g(\alpha_2)}+\dfrac{1}{2}$

$g'(-\dfrac{1}{2})=a\pi$라 할 때, $a^2$의 값을 구하시오. (단, $0<f(0)<\dfrac{\pi}{2}$)

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$-1\le\sin(f(x))\le1$이므로 $\dfrac{1}{3}\le g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}\le1$이고 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분 가능하다.

 

$g(x)$가 $x=\alpha$에서 극대 혹은 극소가 되면 $g'(\alpha)=\dfrac{\cos(f(\alpha))f'(\alpha)}{(2+\sin(f(\alpha)))^2}=0$이다.

 

$\cos(f(\alpha))f'(\alpha)=0$에서 $\cos(f(\alpha))=0$ 또는 $f'(\alpha)=0$

 

 

(가) 조건을 살펴보자.

$g(\alpha_1)=\dfrac{2}{5}$이므로 $\sin(f(\alpha_1))=\dfrac{1}{2}$이다.

$\cos(f(\alpha_1))\ne0$이므로 $f'(\alpha_1)=0$이다.

$\alpha_1=0$에서 $\sin(f(0))=\dfrac{1}{2}$인데 $0<f(0)<\dfrac{\pi}{2}$이므로 $f(0)=\dfrac{\pi}{6}$이다.

$\therefore f(0)=\dfrac{\pi}{6}$, $f'(0)=0$

 

이제 (나) 조건을 보자.

$f'(x)$는 이차식이므로 실근을 많아야 2개 가지는데 한 근은 $\alpha_1=0$이다.

따라서 $\alpha_2$, $\alpha_5$ 중 적어도 하나는 $f'(x)=0$의 근이 아니다.

즉, $\cos(f(\alpha_2))=0$ 또는 $\cos(f(\alpha_5))=0$이다.

 

$\cos(f(\alpha))=0$이면 $\sin(f(\alpha))=\pm1$이므로 $g(\alpha)=\dfrac{1}{3}$ 또는 $g(\alpha)=1$이다.

 

i) $g(\alpha_2)=\dfrac{1}{3}$일 때

$\dfrac{1}{g(\alpha_5)}=\dfrac{1}{g(\alpha_2)}+\dfrac{1}{2}$에서 $g(\alpha_5)=\dfrac{6}{5}$이다.

$\dfrac{1}{3}\le g(x)\le 1$이므로 불가능.

 

ii) $g(\alpha_2)=1$일 때

$g(\alpha_5)=\dfrac{2}{3}$

 

iii) $g(\alpha_5)=\dfrac{1}{3}$일 때

$g(\alpha_2)=-6$으로 불가능.

 

iv) $g(\alpha_5)=1$일 때,

$g(\alpha_2)=2$로 불가능.

 

$\therefore g(\alpha_5)=\dfrac{2}{3}, f'(\alpha_5)=0$

 

$g(\alpha_5)=\dfrac{1}{2+\sin(f(\alpha_5))}=\dfrac{2}{3}$에서 $\sin(f(\alpha_5))=-\dfrac{1}{2}$

 

$f'(x)=18\pi x(x-\alpha_5)$이므로 $f(x)$는 $(0,\alpha_5)$에서 감소한다.

$\dfrac{\pi}{6}=f(0)>f(\alpha_5)$이므로 $f(\alpha_5)$가 될 수 있는 값은 $-\dfrac{1}{6}\pi,-\dfrac{5}{6}\pi,-\dfrac{11}{6}\pi,-\dfrac{17}{6}\pi,\cdots$이다.

 

$\alpha_5$는 $\cos(f(\alpha))=0$ 또는 $f'(\alpha)=0$을 만족하는 다섯번째로 작은 음이 아닌 실수이다.

$\alpha_1=0$이므로 $(0,\alpha_5)$에 $\cos(f(\alpha))=0$을 만족하는 $\alpha$가 셋 존재해야한다.

$(0,\alpha_5)$에서 $f(x)$는 감소하므로 구간 $(f(\alpha_5),\dfrac{\pi}{6})$ 안에 $\cos x=0$의 근이 셋 존재한다.

$\cos x=0$의 근은 $-\dfrac{1}{2}\pi, -\dfrac{3}{2}\pi,-\dfrac{5}{2}\pi,-\dfrac{7}{2}\pi,\cdots$이므로 $-\dfrac{7}{2}\pi\le f(\alpha_5) \le-\dfrac{5}{2}\pi$를 만족해야한다.

$\therefore f(\alpha_5)=-\dfrac{17}{6}\pi$

 

$f'(x)=18\pi x(x-\alpha_5)$에서 $f(x)=6\pi x^3-9\pi\alpha_5x^2+\dfrac{\pi}{6}$

$f(\alpha_5)=-\dfrac{17}{6}\pi$에서 $\alpha_5=1$을 얻는다.

$\therefore f(x)=6\pi x^3-9\pi x^2+\dfrac{\pi}{6}$

 

이제 $g'(-\dfrac{1}{2})$의 값을 계산만 하면 된다.

$x=-\dfrac{1}{2}$을 대입하면 $f(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{17}{6}\pi$, $f'(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{27}{2}\pi$

$g'(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{\cos(f(-\dfrac{1}{2}))f'(-\dfrac{1}{2})}{(2+\sin(f(-\dfrac{1}{2})))^2}=3\sqrt3\pi$

$a=3\sqrt3$, $a^2=27$