[220630] 22 수능 6월 모평 미적분 30번

$t>{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2$인 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=\ln (1+e^{2x}-e^{-2t})$과 직선 $y=x+t$가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $f(t)$라 할 때, $f^{\prime }(\ln 2)={\displaystyle \frac{q}{p}}\sqrt{2}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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주어진 두 함수 모두 $x=-t$에서의 함수 값이 0이므로 만나는 두 점 중 하나는 $(-t,0)$이다.

 

$\ln (1+e^{2x}-e^{-2t})=x+t$

$1+e^{2x}-e^{-2t}=e^{x+t}$

$e^{2x}-e^{x+t}-e^{-2t}+1=0$

 

이 식을 $e^x$에 대한 이차식으로 보고 인수분해하자.

교점 중 하나의 $x$좌표가 $-t$이므로 $e^x-e^{-t}$를 인수로 가짐을 쉽게 알 수 있다.

$(e^x-e^{-t})(e^x-e^t+e^{-t})=0$

 

두 교점의 $x$좌표는 $-t$와 $\ln (e^t-e^{-t})$이다.

 

주어진 직선의 기울기는 $1$이므로 교점 사이의 거리는 두 교점의 $x$좌표 차이의 $\sqrt{2}$배이다.

$\therefore f(t)=\sqrt{2}(\ln (e^t-e^{-t})+t)$

$f^{\prime }(t)=\sqrt{2}({\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{e^t-e^{-t}}}+1)$

$f^{\prime }(\ln 2)=\sqrt{2}({\displaystyle \frac{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}+1)={\displaystyle \frac{8}{3}}\sqrt{2}$

 

$\therefore p=3,q=8,p+q=11$