[220629] 22 수능 6월 모평 미적분 29번

$t>2e$인 실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)=t(\ln x{)}^2-x^2$이 $x=k$에서 극대일 때, 실수 $k$의 값을 $g(t)$라 하면 $g(t)$는 미분가능한 함수이다. $g(\alpha )=e^2$인 실수 $\alpha$에 대하여 $\alpha \times \{g^{\prime }(\alpha ){\}}^2={\displaystyle \frac{q}{p}}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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$f(x)$는 미분가능한 함수이므로 $x=k$에서 극대이면 $f^{\prime }(k)=0$이다.

$f^{\prime }(x)=2t\ln x{\displaystyle \frac{1}{x}}-2x$이므로 $f^{\prime }(k)=2t\ln k{\displaystyle \frac{1}{k}}-2k=0$

$\therefore t\ln k=k^2$

$k=g(t)$에서 $t\ln (g(t))=\{g(t){\}}^2$을 얻는다.

 

양변에 $t=\alpha$를 대입하자.

$\alpha \ln (g(\alpha ))=\{g(\alpha ){\}}^2$

$\alpha \ln (e^2)=e^4$

$\therefore \alpha ={\displaystyle \frac{e^4}{2}}$

 

$t\ln (g(t))=\{g(t){\}}^2$의 양변을 $t$에 대해 미분하자.

$\ln (g(t))+{\displaystyle \frac{t{g}^{\prime }(t)}{g(t)}}=2g(t)g^{\prime }(t)$

$t=\alpha$를 대입하자.

$\ln (g(\alpha ))+{\displaystyle \frac{\alpha g^{\prime }(\alpha )}{g(\alpha )}}=2g(\alpha )g^{\prime }(\alpha )$

$\ln (e^2)+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{e^4}{2}}{g}^{\prime }(\alpha )}{e^2}}=2e^2{g}^{\prime }(\alpha )$

$\therefore g^{\prime }(\alpha )={\displaystyle \frac{4}{3}}{e}^{-2}$

 

$\alpha \times \{g^{\prime }(\alpha ){\}}^2={\displaystyle \frac{e^4}{2}}\times {\displaystyle \frac{16}{9}}{e}^{-4}={\displaystyle \frac{8}{9}}$

$\therefore p=9,q=8,p+q=17$