[220629] 22 수능 6월 모평 미적분 29번

$t>2e$인 실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)=t(\ln x)^2-x^2$이 $x=k$에서 극대일 때, 실수 $k$의 값을 $g(t)$라 하면 $g(t)$는 미분가능한 함수이다. $g(\alpha)=e^2$인 실수 $\alpha$에 대하여 $\alpha\times\{g'(\alpha)\}^2=\dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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$f(x)$는 미분가능한 함수이므로 $x=k$에서 극대이면 $f'(k)=0$이다.

$f'(x)=2t\ln x\dfrac{1}{x}-2x$이므로 $f'(k)=2t\ln k\dfrac{1}{k}-2k=0$

$\therefore t\ln k=k^2$

$k=g(t)$에서 $t\ln(g(t))=\{g(t)\}^2$을 얻는다.

 

양변에 $t=\alpha$를 대입하자.

$\alpha\ln(g(\alpha))=\{g(\alpha)\}^2$

$\alpha\ln(e^2)=e^4$

$\therefore \alpha=\dfrac{e^4}{2}$

 

$t\ln(g(t))=\{g(t)\}^2$의 양변을 $t$에 대해 미분하자.

$\ln(g(t))+\dfrac{tg'(t)}{g(t)}=2g(t)g'(t)$

$t=\alpha$를 대입하자.

$\ln(g(\alpha))+\dfrac{\alpha g'(\alpha)}{g(\alpha)}=2g(\alpha)g'(\alpha)$

$\ln(e^2)+\dfrac{\dfrac{e^4}{2}g'(\alpha)}{e^2}=2e^2g'(\alpha)$

$\therefore g'(\alpha)=\dfrac{4}{3}e^{-2}$

 

$\alpha\times\{g'(\alpha)\}^2=\dfrac{e^4}{2}\times\dfrac{16}{9}e^{-4}=\dfrac{8}{9}$

$\therefore p=9, q=8, p+q=17$