[141129] 14 수능 B형 29번

좌표공간에서 구 $x^2+y^2+z^2=4$ 위를 움직이는 두 점 $P$, $Q$가 있다. 두 점 $P$, $Q$에서 평면 $y=4$에 내린 수선의 발을 각각 $P_1$, $Q_1$이라 하고, 평면 $y+\sqrt3z+8=0$에 내린 수선의 발을 각각 $P_2$, $Q_2$라 하자. $2|\overrightarrow{PQ}|^2-|\overrightarrow{P_1Q_1}|^2-|\overrightarrow{P_2Q_2}|^2$의 최댓값을 구하시오.

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평면 $y=4$와 평면 $y+\sqrt3z+8=0$의 법선벡터는 각각 $(0,1,0)$, $(0,1,\sqrt3)$이므로 두 평면이 이루는 각을 $\theta$라 하면 $\cos\theta=\dfrac{(0,1,0)\cdot(0,1,\sqrt3)}{|(0,1,0)||(0,1,\sqrt3)|}=\dfrac{1}{2}$이므로 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$이다.

 

$\overrightarrow{PQ}$가 두 평면과 이루는 각을 각각 $\alpha$, $\beta$라 하자. ($0\le\alpha,\beta\le\dfrac{\pi}{2}$)

 

$\begin{align}2|\overrightarrow{PQ}|^2-|\overrightarrow{P_1Q_1}|^2-|\overrightarrow{P_2Q_2}|^2&=2|\overrightarrow{PQ}|^2-|\overrightarrow{PQ}|^2\cos^2\alpha-|\overrightarrow{PQ}|^2\cos^2\beta\\&=|\overrightarrow{PQ}|^2(2-\cos^2\alpha-\cos^2\beta)\\&=|\overrightarrow{PQ}|^2(\sin^2\alpha+\sin^2\beta)\\&=|\overrightarrow{PQ}|^2(\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}+\dfrac{1-\cos2\beta}{2})\\&=|\overrightarrow{PQ}|^2(1-\dfrac{1}{2}(\cos2\alpha+\cos2\beta))\\&=|\overrightarrow{PQ}|^2(1-\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta))\end{align}$

 

$P$, $Q$는 반지름이 $2$인 구 위의 두 점이므로 $0\le|\overrightarrow{PQ}|^2\le16$이다.

 

$\alpha$, $\beta$, $\theta$에 대한 삼각부등식에서 다음 식들을 얻는다.

$\theta\le\alpha+\beta$, $\alpha\le\beta+\theta$, $\beta\le\alpha+\theta$

$\dfrac{\pi}{3}\le\alpha+\beta$, $-\dfrac{\pi}{3}\le\alpha-\beta\le\dfrac{\pi}{3}$

$\alpha+\beta$가 두 평면이 이루는 둔각보다 커질 수 없으므로 $\alpha+\beta\le\dfrac{2\pi}{3}$

$\therefore\dfrac{\pi}{3}\le\alpha+\beta\le\dfrac{2\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{3}\le\alpha-\beta\le\dfrac{\pi}{3}$

 

$-\dfrac{1}{2}\le\cos(\alpha+\beta)\le\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{2}\le\cos(\alpha-\beta)\le1$

$-\dfrac{1}{2}\le\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)\le\dfrac{1}{2}$

 

$\begin{align}2|\overrightarrow{PQ}|^2-|\overrightarrow{P_1Q_1}|^2-|\overrightarrow{P_2Q_2}|^2&=|\overrightarrow{PQ}|^2(1-\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta))\\&\le16(1+\dfrac{1}{2})\\&=24\end{align}$

 

등호가 성립할 조건은 $|\overrightarrow{PQ}|=4$, $\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{1}{2}$, $\cos(\alpha-\beta)=1$이다.

 

따라서 주어진 식은 $PQ$가 주어진 구의 지름이 되며 $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{3}$일 때, 최댓값 $24$를 가진다.