[141129] 14 수능 B형 29번

좌표공간에서 구 $x^2+y^2+z^2=4$ 위를 움직이는 두 점 $P$, $Q$가 있다. 두 점 $P$, $Q$에서 평면 $y=4$에 내린 수선의 발을 각각 $P_1$, $Q_1$이라 하고, 평면 $y+\sqrt{3}z+8=0$에 내린 수선의 발을 각각 $P_2$, $Q_2$라 하자. $2|\overrightarrow{PQ}{|}^2-|\overrightarrow{P_1{Q}_1}{|}^2-|\overrightarrow{P_2{Q}_2}{|}^2$의 최댓값을 구하시오.

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평면 $y=4$와 평면 $y+\sqrt{3}z+8=0$의 법선벡터는 각각 $(0,1,0)$, $(0,1,\sqrt{3})$이므로 두 평면이 이루는 각을 $\theta$라 하면 $\cos \theta ={\displaystyle \frac{(0,1,0)\cdot (0,1,\sqrt{3})}{|(0,1,0)||(0,1,\sqrt{3})|}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$이므로 $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$이다.

 

$\overrightarrow{PQ}$가 두 평면과 이루는 각을 각각 $\alpha$, $\beta$라 하자. ($0\le \alpha ,\beta \le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$)

 

$\begin{array}{rl}2|\overrightarrow{PQ}{|}^2-|\overrightarrow{P_1{Q}_1}{|}^2-|\overrightarrow{P_2{Q}_2}{|}^2& =2|\overrightarrow{PQ}{|}^2-|\overrightarrow{PQ}{|}^2{\cos }^2\alpha -|\overrightarrow{PQ}{|}^2{\cos }^2\beta \\ & =|\overrightarrow{PQ}{|}^2(2-{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\beta )\\ & =|\overrightarrow{PQ}{|}^2({\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta )\\ & =|\overrightarrow{PQ}{|}^2({\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha }{2}}+{\displaystyle \frac{1-\cos 2\beta }{2}})\\ & =|\overrightarrow{PQ}{|}^2(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 2\beta ))\\ & =|\overrightarrow{PQ}{|}^2(1-\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta ))\end{array}$

 

$P$, $Q$는 반지름이 $2$인 구 위의 두 점이므로 $0\le |\overrightarrow{PQ}{|}^2\le 16$이다.

 

$\alpha$, $\beta$, $\theta$에 대한 삼각부등식에서 다음 식들을 얻는다.

$\theta \le \alpha +\beta$, $\alpha \le \beta +\theta$, $\beta \le \alpha +\theta$

${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\le \alpha +\beta$, $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\le \alpha -\beta \le {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

$\alpha +\beta$가 두 평면이 이루는 둔각보다 커질 수 없으므로 $\alpha +\beta \le {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

$\therefore {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\le \alpha +\beta \le {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$, $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\le \alpha -\beta \le {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

 

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\le \cos (\alpha +\beta )\le {\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{2}}\le \cos (\alpha -\beta )\le 1$

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\le \cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )\le {\displaystyle \frac{1}{2}}$

 

$\begin{array}{rl}2|\overrightarrow{PQ}{|}^2-|\overrightarrow{P_1{Q}_1}{|}^2-|\overrightarrow{P_2{Q}_2}{|}^2& =|\overrightarrow{PQ}{|}^2(1-\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta ))\\ & \le 16(1+{\displaystyle \frac{1}{2}})\\ & =24\end{array}$

 

등호가 성립할 조건은 $|\overrightarrow{PQ}|=4$, $\cos (\alpha +\beta )=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\cos (\alpha -\beta )=1$이다.

 

따라서 주어진 식은 $PQ$가 주어진 구의 지름이 되며 $\alpha =\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$일 때, 최댓값 $24$를 가진다.