[161030] 2016년 10월 학평 가형 30번

$1$부터 $9$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $9$개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, $i$번째($i=1,2,\cdots ,9$) 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $a_i$라 하자. $1<p<q<9$인 두 자연수 $p$, $q$에 대하여 $a_i$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $1\le i<p$이면 $a_i<a_{i+1}$이다. (나) $p\le i<q$이면 $a_i>a_{i+1}$이다. (다) $q\le i<9$이면 $a_i<a_{i+1}$이다.

$a_1=2$, $a_p=8$인 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

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(가), (나), (다) 조건을 요약하면 $a_1<\cdots <a_p>\cdots >a_q<\cdots <a_9$이 된다.

다른 모든 $a_i$는 $a_1$, $a_q$보다는 크고 $a_p$, $a_9$보다는 작아야한다.

$\therefore \{a_1,a_q\}=\{1,2\}$, $\{a_p,a_9\}=\{8,9\}$

$a_1=2$, $a_p=8$이므로 $a_q=1$, $a_9=9$이다.

 

남은 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$은 $a_p$와 $a_q$에 의해 나뉘는 세 개의 그룹 중 아무데나 배정하면 된다.

따라서 경우의 수는 ${}_3{\mathrm{\Pi }}_5=3^5=243$