[150730] 2015년 7월 학평 A형 30번

검은 바둑돌과 흰 바둑돌을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은 <A형> $\LARGE\bullet\,\bullet$, <B형> $\LARGE\bullet\,\circ$, <C형> $\LARGE\circ\,\bullet$, <D형> $\LARGE\circ\,\circ$으로 4가지이다.

예를 들어, 6개의 바둑돌을 <A형> 2번, <B형> 1번, <C형> 1번, <D형> 1번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 $\LARGE\bullet\bullet\circ\circ\bullet\,\bullet$, $\LARGE\circ\bullet\bullet\bullet\circ\,\circ$, $\LARGE\circ\circ\bullet\bullet\bullet\,\circ$, $\LARGE\bullet\bullet\bullet\circ\circ\,\bullet$, $\LARGE\bullet\circ\circ\bullet\bullet\,\bullet$의 5이다.

10개의 바둑돌을 <A형> 4번, <B형> 2번, <C형> 2번, <D형> 1번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 검은 바둑돌과 흰 바둑돌은 각각 10개 이상씩 있다.)

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<A형> 다음에는 <A형> 또는 <B형>만 올 수 있다. <B형>, <C형>, <D형> 뒤에도 2가지 유형만이 올 수 있고, 따라서 가능한 배열은  AA, AB, BC, BD, CA, CB, DC, DD뿐이다.

 

<D형>이 한 번만 나타나므로 <D형>을 먼저 배치해보자.

 

i) <D형>이 제일 앞에 오는 경우

처음 두 유형이 DC로 고정되고 B는 뒤에 올 수 있는 유형이 C로 고정된다.

두 C 중 하나가 D의 뒷자리에 배정됐기 때문에 두 B 중 하나는 가장 뒤로 가야한다.

따라서 D C (A, A, A, A, BC) B에서 괄호 안의 문자만 배열하면 된다.

$\dfrac{5!}{4!}=5$가지

 

ii) <D형>이 제일 뒤에 오는 경우

i)과 똑같이 생각하면 된다.

C (A, A, A, A, BC) B D

$\dfrac{5!}{4!}=5$가지

 

iii) <D형>이 제일 앞이나 뒤가 아닌 경우

i), ii)에서 살펴봤듯이 D의 앞과 뒤에는 각각 B와 C가 와야한다.

남은 B, C 하나씩은 가장 앞과 뒤에 오거나 서로 붙어있어야한다.

따라서 C (A, A, A, A, BDC) B 혹은 (A, A, A, A, BC, BDC)의 배치가 가능하다.

$\dfrac{5!}{4!}+\dfrac{6!}{4!}=5+30=35$가지

 

i), ii), iii)에서 총 경우의 수는 $5+5+35=45$가지