[180621] 18 수능 6월 모평 가형 21번

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$에 대하여 $F(x)=\ln|f(x)|$라 하고, 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$에 대하여 $G(x)=\ln|g(x)\sin x|$라 하자.

$\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)F'(x)=3$, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{F'(x)}{G'(x)}=\dfrac{1}{4}$일 때, $f(3)+g(3)$의 값은?

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로피탈의 정리를 활용해 극한에 등장하는 $F'(x)$를 $F(x)$로 바꾸자.

 

$\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)F'(x)&=\lim_{x\to1}\dfrac{F'(x)}{\frac{1}{x-1}}\\&=\lim_{x\to1}\dfrac{F(x)}{\ln|x-1|}\\&=\lim_{x\to1}\dfrac{\ln|f(x)|}{\ln|x-1|}=3\end{align}$

 

따라서 $x=1$ 근처에서 $f(x)\sim (x-1)^3$이다.

 

$\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{F'(x)}{G'(x)}&=\lim_{x\to0}\dfrac{F(x)}{G(x)}\\&=\lim_{x\to0}\dfrac{\ln|f(x)|}{\ln|g(x)\sin x|}=\dfrac{1}{4}\end{align}$

 

$x=0$ 근처에서 $\{f(x)\}^4\sim g(x)\sin x$이고 $x\sim \sin x$이므로 $\{f(x)\}^4\sim xg(x)$

 

이런 조건을 만족하며 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수, 삼차함수는 $f(x)=x(x-1)^3$, $g(x)=x^3$이다.

 

$\therefore f(3)+g(3)=3\cdot 2^3+3^3=24+27=51$

 

 

 

 

 

 

직관적이고 간략한 풀이를 위해 확인하지 않은 조건이 몇가지 있다.

 

정당화를 건너뛴 부분이 어디인지 스스로 찾아보자.