[210429] 2021년 4월 학평 기하 29번

좌표평면 위에 네 점 $A(-2,0)$, $B(1,0)$, $C(2,1)$, $D(0,1)$이 있다. 반원의 호 $(x+1{)}^2+y^2=1$ $(0\le y\le 1)$ 위를 움직이는 점 $P$와 삼각형 $BCD$ 위를 움직이는 점 $Q$에 대하여 $|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}|$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M^2+m^2=p+2\sqrt{q}$일 때, $p\times q$의 값을 구하시오. (단, $O$는 원점이고, $p$와 $q$는 유리수이다.)

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$P$, $Q$의 좌표를 $P(-1+\cos \theta ,\sin \theta )$, $Q(a,b)$로 잡자. ($0\le \theta \le \pi$)

$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}=(-1+\cos \theta ,\sin \theta )+(2+a,b)=(1+a+\cos \theta ,b+\sin \theta )$

 

i) $(1+a+\cos \theta ,b+\sin \theta )=(1+a,b)+(\cos \theta ,\sin \theta )$

$(1+a,b)$의 크기는 $(-1,0)$에서 $Q$까지의 거리이고, 두 벡터의 방향이 같도록 $\theta$를 조절해줄 수 있으므로 $M$은 $(-1,0)$에서 $Q$까지의 거리의 최댓값에 $1$을 더한 것이 된다.

이는 $Q$가 $C$에 있을 때이고 그 값은 $M=\sqrt{10}+1$

 

ii) $(1+a+\cos \theta ,b+\sin \theta )=(a,b)+(1+\cos \theta ,\sin \theta )$

$a$, $b$, $1+\cos \theta$, $\sin \theta$는 모두 $0$ 이상이므로 $|(a,b)+(1+\cos \theta ,\sin \theta )|\ge |(a,b)|$이다.

$|(a,b)|$는 원점에서 $Q$까지의 거리이므로 그 최솟값은 원점부터 선분 $BD$까지의 거리인 ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\therefore m={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

 

$M^2+m^2=(\sqrt{10}+1{)}^2+({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{)}^2={\displaystyle \frac{23}{2}}+2\sqrt{10}$

$p={\displaystyle \frac{23}{2}}$, $q=10$, $p\times q=115$