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문제풀이

[210428] 2021년 4월 학평 기하 28번

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좌표평면에서 두 점 $F\left(\dfrac{9}{4},0\right)$, $F'(-c,0)$ $(c>0)$을 초점으로 하는 타원과 포물선 $y^2=9x$가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $P$라 하자. $\overline{PF}=\dfrac{25}{4}$이고 포물선 $y^2=9x$ 위의 점 $P$에서의 접선이 점 $F'$을 지날 때, 타원의 단축의 길이는?


주어진 포물선의 준선의 방정식은 $x=-\dfrac{9}{4}$이고 $F$는 포물선의 초점이 된다.

포물선의 정의에 의해 $\overline{PF}$는 준선으로부터 $P$까지의 거리이므로 $P$의 $x$좌표는 $\dfrac{25}{4}-\dfrac{9}{4}=4$이다.

점 $P$는 $y^2=9x$ 위에 있고 제$1$사분면의 점이므로 $P$의 좌표는 $(4,6)$이다.

$P$에서 그은 포물선의 접선의 방정식은 $6y=9\cdot\dfrac{x+4}{2}$이고 $F'$은 그 $x$절편이므로 $c=4$

 

주어진 타원의 장축의 길이는 $\overline{F'P}+\overline{PF}=10+\dfrac{25}{4}=\dfrac{65}{4}$

초점 사이의 길이는 $\overline{FF'}=\dfrac{25}{4}$

따라서 단축의 길이는 $\sqrt{\left(\dfrac{65}{4}\right)^2-\left(\dfrac{25}{4}\right)^2}=15$

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