[210429] 2021년 4월 학평 확률과통계 29번

두 남학생 $A$, $B$를 포함한 $4$명의 남학생과 여학생 $C$를 포함한 $4$명의 여학생이 있다. 이 $8$명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

(가) $A$와 $B$는 이웃한다. (나) $C$는 여학생과 이웃하지 않는다.

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$A$와 $B$는 항상 이웃하므로 묶어서 남학생 한 명으로 생각하자.

그러면 남학생 셋과 여학생 넷을 배열하는 경우의 수 문제로 볼 수 있다.

원순열이므로 먼저 $C$의 위치를 고정시켜놓고 생각하자.

$C$의 옆자리에는 모두 남학생만이 와야한다.

$C$와 $C$의 양옆에 고정된 두 남학생을 제외하고 남은 한 남학생과 나머지 여학생 셋을 배열하는 경우의 수는 $4!$이다.

남학생 셋의 위치는 서로 바꿀 수 있으므로 $3!$가지 경우의 수가 있다.

$A$와 $B$의 위치도 서로 바꿀 수 있으므로 $2$가지 경우의 수가 있다.

곱의 법칙에 의해 총 경우의 수는 $4!\times3!\times2=288$