[210422] 2021년 4월 학평 22번

실수 $a$에 대하여 두 함수 $f(x)$, $g(x)$를 $f(x)=3x+a$, $g(x)={\displaystyle {\int }_2^x(t+a)f(t)dt}$라 하자. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $h(-1)$의 최솟값은 ${\displaystyle \frac{q}{p}}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

(가) 곡선 $y=h(x)$ 위의 어떤 점에서의 접선이 $x$축이다. (나) 곡선 $y=|h(x)|$가 $x$축에 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 $4$이다.

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$f(x)$가 최고차항의 계수가 $3$인 일차함수이므로 $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이고, $h(x)$는 최고차항의 계수가 $3$인 사차함수이다.

 

(가) 조건에 의해 $h(x)$는 $x$축에 접하고 $h(x)$는 최고차항의 계수가 양수인 사차함수이므로 가능한 개형은 다음과 같다.

 

(i) 극소점 2개와 극대점 1개를 가지고 극대점에서 $x$축에 접하는 경우

(ii) 극대점 하나와 함수값이 서로 다른 두 극소점을 가지며 함수값이 더 작은 극소점에서 $x$축에 접하는 경우

(iii) 극대점 하나와 함수값이 서로 다른 두 극소점을 가지며 함수값이 더 큰 극소점에서 $x$축에 접하는 경우

(iv) 극대점 하나와 함수값이 서로 같은 두 극소점을 가지고 극소점에서 $x$축에 접하는 경우

(v) 극소점 하나만 가지고 극소점에서 $x$축에 접하는 경우

(vi) 극소점 하나만 가지고 극소점이 아닌 점에서 $x$축에 접하는 경우 (뚫으면 접하는 경우)

 

(나) 조건에 의해 가능한 개형은 (ii), (iv), (vi)의 3가지이다.

 

$\begin{array}{rl}g(x)=& {\displaystyle {\int }_2^x(t+a)(3t+a)dt}\\ & ={\int }_2^x(3t^2+4at+a^2)dt\\ & ={[t^2+2a{t}^2+a^{2}t]}_2^x\\ & =x^3+2a{x}^2+a^{2}x-2a^2-8a-8\\ & =(x-2)(x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4)\end{array}$

$\therefore h(x)=(3x+a)(x-2)(x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4)$

 

 

(ii) 극대점 하나와 함수값이 서로 다른 두 극소점을 가지며 함수값이 더 작은 극소점에서 $x$축에 접하는 경우

$h(-{\displaystyle \frac{a}{3}})=h(2)=0$이므로 $-{\displaystyle \frac{a}{3}}=2$이고 $x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4$가 근을 갖지 않으면 된다.

첫 조건에서 $a=-6$이고, 이때 $x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4=x^2-10x+16=(x-2)(x-8)$이므로 불가능.

 

 

(iv) 극대점 하나와 함수값이 서로 같은 두 극소점을 가지고 극소점에서 $x$축에 접하는 경우

$-{\displaystyle \frac{a}{3}}=2$이면서 $x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4$가 완전제곱식이 되거나, $x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4=(x+{\displaystyle \frac{a}{3}})(x-2)$이어야한다.

전자는 (ii)에서 확인했으므로 후자를 살펴보자.

일차항의 계수를 비교하면 $2a+2={\displaystyle \frac{a}{3}}-2$, $a=-{\displaystyle \frac{12}{5}}$

이차항을 비교하면 서로 같지않으므로 이 경우도 불가능하다.

 

 

(vi) $x$축을 뚫으면 접하는 경우

$-{\displaystyle \frac{a}{3}}=2$이면서 $x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4$가 $2$를 근으로 가지거나, 그렇지 않으면서 $x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4$가 $(x+{\displaystyle \frac{a}{3}}{)}^2$ 또는 $(x-2{)}^2$이 되는 경우가 있다.

첫번째는 (ii)에서 확인했듯이 $a=-6$이고 $h(x)=3(x-2{)}^3(x-8)$이다.

 

두번째를 살펴보자.

$x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4=(x+{\displaystyle \frac{a}{3}}{)}^2$에서 일차항의 계수를 비교하면 $2a+2={\displaystyle \frac{2a}{3}}$, $a=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

이때 양변의 상수항도 같아진다.

$h(x)=3(x-2)(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^3$

 

세번째를 보자.

$x^2+(2a+2)x+a^2+4a+4=(x-2{)}^2$에서 일차항의 계수를 비교하면 $2a+2=-4$, $a=-3$

이때 상수항을 비교하면 좌변은 $1$, 우변은 $4$이므로 불가능

 

 

따라서 가능한 $h(x)$는 $3(x-2{)}^3(x-8)$, $3(x-2)(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^3$의 2가지.

$h(-1)$은 각각 $729$, ${\displaystyle \frac{243}{8}}$

$p=8$, $q=243$, $p+q=8+243=251$