[210415] 2021년 4월 학평 15번

$1$보다 큰 실수 $k$에 대하여 두 곡선 $y=\log_2|kx|$와 $y=\log_2(x+4)$가 만나는 서로 다른 두 점을 $A$, $B$라 하고, 점 $B$를 지나는 곡선 $y=\log_2(-x+m)$이 곡선 $y=\log_2|kx|$와 만나는 점 중 $B$가 아닌 점을 $C$라 하자. 세 점 $A$, $B$, $C$의 $x$좌표를 각각 $x_1$, $x_2$, $x_3$이라 할 때, 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $x_1<x_2$이고, $m$은 실수이다.)

ㄱ. $x_2=-2x_1$이면 $k=3$이다. ㄴ. $x_2^2=x_1x_3$ ㄷ. 직선 $AB$의 기울기와 직선 $AC$의 기울기의 합이 $0$일 때, $m+k^2=19$이다.

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$x_1$과 $x_2$를 먼저 구해보자.

$\log_2|kx|=\log_2(x+4)$에서 $|kx|=x+4$이고, $x$는 $\dfrac{4}{k-1}$ 또는 $-\dfrac{4}{k+1}$

$\therefore x_1=-\dfrac{4}{k+1}, x_2=\dfrac{4}{k-1}$

 

마찬가지로 $x_2$, $x_3$은 $\log_2|kx|=\log_2(-x+m)$의 근이 된다.

$|kx|=-x+m$, $x$는 $\dfrac{m}{k+1}$ 또는 $-\dfrac{m}{k-1}$

$\therefore x_2=\dfrac{m}{k+1}, x_3=-\dfrac{m}{k-1}$

 

ㄱ.

$x_2=-2x_1$이면 $\dfrac{4}{k-1}=2\cdot\dfrac{4}{k+1}$

$k+1=2k-2$이므로 $k=3$

따라서 ㄱ은 참.

 

ㄴ.

$x^2=\dfrac{4}{k-1}\dfrac{m}{k+1}=(-\dfrac{4}{k+1})(-\dfrac{m}{k-1})=x_1x_3$

ㄴ은 참.

 

ㄷ.

ㄴ에서 $x_1$, $x_2$, $x_3$은 등비수열을 이루므로 어떤 실수 $r$에 대하여 $x_2=rx_1$, $x_3=r^2x_1$이 성립한다.

직선 $AB$의 기울기는 $\dfrac{\log_2kx_2-\log_2(-kx_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{\log_2(\dfrac{x_2}{-x_1})}{x_2-x_1}=\dfrac{\log_2(-r)}{(r-1)x_1}$

직선 $AC$의 기울기는 $\dfrac{\log_2(-kx_3)-\log_2(-kx_1)}{x_3-x_1}=\dfrac{\log_2(\dfrac{x_3}{x_1})}{x_3-x_1}=\dfrac{\log_2(r^2)}{(r^2-1)x_1}$

기울기의 합이 $0$이므로 $\dfrac{\log_2(-r)}{(r-1)x_1}=-\dfrac{\log_2(r^2)}{(r^2-1)x_1}=-\dfrac{2\log_2(-r)}{(r^2-1)x_1}$이 성립한다.

$r\ne\pm1$, $x_1\ne0$이므로 $1=-\dfrac{2}{r+1}$, $r=-3$

$x_2=-3x_1$에서 $\dfrac{4}{k-1}=\dfrac{12}{k+1}$, $k+1=3k-3$, $k=2$

$x_2$를 표현하는 두 식에서 $\dfrac{4}{k-1}=\dfrac{m}{k+1}$, $\dfrac{4}{1}=\dfrac{m}{3}$, $m=12$

$m+k^2=12+4=16$

ㄷ은 거짓.

 

따라서 답은 ㄱ, ㄴ