[210415] 2021년 4월 학평 15번

$1$보다 큰 실수 $k$에 대하여 두 곡선 $y={\log }_2|kx|$와 $y={\log }_2(x+4)$가 만나는 서로 다른 두 점을 $A$, $B$라 하고, 점 $B$를 지나는 곡선 $y={\log }_2(-x+m)$이 곡선 $y={\log }_2|kx|$와 만나는 점 중 $B$가 아닌 점을 $C$라 하자. 세 점 $A$, $B$, $C$의 $x$좌표를 각각 $x_1$, $x_2$, $x_3$이라 할 때, 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $x_1<x_2$이고, $m$은 실수이다.)

ㄱ. $x_2=-2x_1$이면 $k=3$이다. ㄴ. $x_2^2=x_1{x}_3$ ㄷ. 직선 $AB$의 기울기와 직선 $AC$의 기울기의 합이 $0$일 때, $m+k^2=19$이다.

---

$x_1$과 $x_2$를 먼저 구해보자.

${\log }_2|kx|={\log }_2(x+4)$에서 $|kx|=x+4$이고, $x$는 ${\displaystyle \frac{4}{k-1}}$ 또는 $-{\displaystyle \frac{4}{k+1}}$

$\therefore x_1=-{\displaystyle \frac{4}{k+1}},x_2={\displaystyle \frac{4}{k-1}}$

 

마찬가지로 $x_2$, $x_3$은 ${\log }_2|kx|={\log }_2(-x+m)$의 근이 된다.

$|kx|=-x+m$, $x$는 ${\displaystyle \frac{m}{k+1}}$ 또는 $-{\displaystyle \frac{m}{k-1}}$

$\therefore x_2={\displaystyle \frac{m}{k+1}},x_3=-{\displaystyle \frac{m}{k-1}}$

 

ㄱ.

$x_2=-2x_1$이면 ${\displaystyle \frac{4}{k-1}}=2\cdot {\displaystyle \frac{4}{k+1}}$

$k+1=2k-2$이므로 $k=3$

따라서 ㄱ은 참.

 

ㄴ.

$x^2={\displaystyle \frac{4}{k-1}}{\displaystyle \frac{m}{k+1}}=(-{\displaystyle \frac{4}{k+1}})(-{\displaystyle \frac{m}{k-1}})=x_1{x}_3$

ㄴ은 참.

 

ㄷ.

ㄴ에서 $x_1$, $x_2$, $x_3$은 등비수열을 이루므로 어떤 실수 $r$에 대하여 $x_2=r{x}_1$, $x_3=r^2{x}_1$이 성립한다.

직선 $AB$의 기울기는 ${\displaystyle \frac{{\log }_{2}k{x}_2-{\log }_2(-k{x}_1)}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{{\log }_2({\displaystyle \frac{x_2}{-x_1}})}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{{\log }_2(-r)}{(r-1)x_1}}$

직선 $AC$의 기울기는 ${\displaystyle \frac{{\log }_2(-k{x}_3)-{\log }_2(-k{x}_1)}{x_3-x_1}}={\displaystyle \frac{{\log }_2({\displaystyle \frac{x_3}{x_1}})}{x_3-x_1}}={\displaystyle \frac{{\log }_2(r^2)}{(r^2-1)x_1}}$

기울기의 합이 $0$이므로 ${\displaystyle \frac{{\log }_2(-r)}{(r-1)x_1}}=-{\displaystyle \frac{{\log }_2(r^2)}{(r^2-1)x_1}}=-{\displaystyle \frac{2{\log }_2(-r)}{(r^2-1)x_1}}$이 성립한다.

$r\ne \pm 1$, $x_1\ne 0$이므로 $1=-{\displaystyle \frac{2}{r+1}}$, $r=-3$

$x_2=-3x_1$에서 ${\displaystyle \frac{4}{k-1}}={\displaystyle \frac{12}{k+1}}$, $k+1=3k-3$, $k=2$

$x_2$를 표현하는 두 식에서 ${\displaystyle \frac{4}{k-1}}={\displaystyle \frac{m}{k+1}}$, ${\displaystyle \frac{4}{1}}={\displaystyle \frac{m}{3}}$, $m=12$

$m+k^2=12+4=16$

ㄷ은 거짓.

 

따라서 답은 ㄱ, ㄴ