[210329] 2021년 3월 학평 확률과통계 29번

$5$ 이하의 자연수 $a,b,c,d$에 대하여 부등식 $a\le b+1\le c\le d$를 만족시키는 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수를 구하시오.

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$b+1$은 $c$보다 작거나 같으므로 $5$ 이하이다.

$5$ 이하의 자연수에서 $a, b+1,c,d$가 될 4개의 자연수를 중복을 포함해 뽑는 경우의 수는 $_5H_4$이다.

이때, $b+1=1$이면 $b=0$이 되어 불가능하다.

이 경우는 $a=b+1=1$일 때, 즉 $5$ 이하의 자연수에서 $c,d$가 될 2개의 자연수를 중복을 포함해 뽑는 $_5H_2$의 경우의 수가 있다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $_5H_4-_5H_2=_8C_4-_6C_2=70-15=55$