[210328] 2021년 3월 학평 미적분 28번

자연수 $n$에 대하여 $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$, $\overline{AB}=2$, $\overline{CA}=n$인 삼각형 $ABC$에서 $\mathrm{\angle }A$의 이등분선이 선분 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 선분 $CD$의 길이를 $a_n$이라 할 때, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n-a_n)}$의 값은?

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$\overline{BC}=\sqrt{n^2+4}$

각의 이등분선의 성질에 의해 $a_n=\overline{CD}={\displaystyle \frac{n}{n+2}}\sqrt{n^2+4}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n-a_n)}& =n-{\displaystyle \frac{n}{n+2}}\sqrt{n^2+4}\\ & =n({\displaystyle \frac{n+2-\sqrt{n^2+4}}{n+2}})\\ & ={\displaystyle \frac{n}{n+2}}{\displaystyle \frac{4n}{n+2+\sqrt{n^2+4}}}\\ & =2\end{array}$