[210328] 2021년 3월 학평 미적분 28번

자연수 $n$에 대하여 $\angle A=90^{\circ}$, $\overline{AB}=2$, $\overline{CA}=n$인 삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 선분 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 선분 $CD$의 길이를 $a_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n-a_n)$의 값은?

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$\overline{BC}=\sqrt{n^2+4}$

각의 이등분선의 성질에 의해 $a_n=\overline{CD}=\dfrac{n}{n+2}\sqrt{n^2+4}$

$\begin{align*}\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n-a_n)&=n-\dfrac{n}{n+2}\sqrt{n^2+4}\\&=n(\dfrac{n+2-\sqrt{n^2+4}}{n+2})\\&=\dfrac{n}{n+2}\dfrac{4n}{n+2+\sqrt{n^2+4}}\\&=2\end{align*}$