[210329] 2021년 3월 학평 기하 29번

두 초점이 $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$ $(c>0)$인 타원이 $x$축과 두 점 $A(3,0)$, $B(-3,0)$에서 만난다. 선분 $BO$가 주축이고 점 $F_1$이 한 초점인 쌍곡선의 초점 중 $F_1$이 아닌 점을 $F_3$이라 하자. 쌍곡선이 타원과 제1사분면에서 만나는 점을 $P$라 할 때, 삼각형 $PF_2F_3$의 둘레의 길이를 구하시오. (단, $O$는 원점이다.)

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$\overline{F_3B}=\overline{OF_1}=\overline{F_2O}$이므로 $\overline{F_3F_2}=\overline{BO}=3$이다.

주어진 쌍곡선의 주축의 길이가 $3$이고, 주어진 타원의 장축의 길이가 $6$이므로 점 $P$에 대해 다음이 성립한다.

$\overline{F_3P}=\overline{PF_1}+3$, $\overline{F_2P}=6-\overline{PF_1}$

따라서 삼각형 $PF_2F_3$의 둘레의 길이는 $\overline{F_3F_2}+\overline{F_3P}+\overline{F_2P}=12$