[210315] 2021년 3월 학평 15번

$\overline{AB}=5$, $\overline{BC}=4$, $\cos (\mathrm{\angle }ABC)={\displaystyle \frac{1}{8}}$인 삼각형 $ABC$가 있다. $\mathrm{\angle }ABC$의 이등분선과 $\mathrm{\angle }CAB$의 이등분선이 만나는 점을 $D$, 선분 $BD$의 연장선과 삼각형 $ABC$의 외접원이 만나는 점을 $E$라 할 때, 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. $\overline{AC}=6$ ㄴ. $\overline{EA}=\overline{EC}$ ㄷ. $\overline{ED}={\displaystyle \frac{31}{8}}$

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삼각형 $ABC$에 코사인 법칙을 적용하면 ${\overline{AC}}^2=5^2+4^2-2\cdot 5\cdot 4\cdot \cos (\mathrm{\angle }ABC)=36$

$\therefore \overline{AC}=6$

ㄱ은 참.

 

$\mathrm{\angle }ABE=\mathrm{\angle }CBE$이므로 $\overline{EA}=\overline{EC}$이다.

ㄴ은 참.

 

$\overline{EA}=x$로 두고 삼각형 $ACE$에 코사인 법칙을 적용하자.

$36=x^2+x^2-2x^2\cos (\mathrm{\angle }AEC)=2x^2+2x^2\cos (\mathrm{\angle }ABC)={\displaystyle \frac{9}{4}}{x}^2$

$\therefore \overline{EA}=\overline{EC}=4$

 

사각형 $ABCE$의 두 대각선의 교점을 $F$라 하자.

각의 이등분선의 성질에서 $\overline{AB}:\overline{BC}=\overline{AF}:\overline{CF}$이므로 $\overline{AF}={\displaystyle \frac{10}{3}}$, $\overline{CF}={\displaystyle \frac{8}{3}}$이다.

 

$\overline{AE}=\overline{BC}=4$이고 $\mathrm{\angle }EAF$와 $\mathrm{\angle }FBC$, $\mathrm{\angle }AEF$와 $\mathrm{\angle }BCF$가 각각 원주각으로 같으므로 삼각형 $AEF$와 삼각형 $BCF$는 ASA합동이다.

$\therefore \overline{BF}=\overline{AF}={\displaystyle \frac{10}{3}}$, $\overline{FE}=\overline{FC}={\displaystyle \frac{8}{3}}$

 

각의 이등분선의 성질에서 $\overline{AB}:\overline{AF}=\overline{BD}:\overline{FD}$이므로 $\overline{FD}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

$\therefore \overline{ED}=\overline{DF}+\overline{FE}={\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{8}{3}}=4$

ㄷ은 거짓.

 

따라서 답은 ㄱ, ㄴ