[210329] 2021년 3월 학평 미적분 29번

자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $P_n(2n,4n^2)$에서의 접선과 수직이고 점 $Q_n(0,2n^2)$을 지나는 직선을 $l_n$이라 하자. 점 $P_n$을 지나고 점 $Q_n$에서 직선 $l_n$과 접하는 원을 $C_n$이라 할 때, 원점을 지나고 원 $C_n$의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 $a_n$이라 하자. ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_n}{n}}}$의 값을 구하시오.

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$(x^2{)}^{\prime }=2x$이므로 $P_n$에서의 $y=x^2$의 접선의 기울기는 $4n$이다.

$C_n$의 중심과 $Q_n$을 지나는 직선은 $l_n$과 수직이므로 그 기울기는 위의 접선과 같은 $4n$이다.

따라서 그 직선의 방정식은 $y=4nx+2n^2$이다.

 

그리고 $C_n$의 중심은 $\overline{P_n{Q}_n}$의 수직이등분선 위에 있다.

$\overline{P_n{Q}_n}$의 기울기는 $2n$이므로 수직이등분선의 기울기는 $-{\displaystyle \frac{1}{2n}}$이다.

$\overline{P_n{Q}_n}$의 수직이등분선은 그 중점을 지나므로 $(n,3n^2)$을 지난다.

따라서 그 직선의 방정식은 $y=-{\displaystyle \frac{1}{2n}}(x-n)+3n^2$

 

두 직선의 방정식을 연립하면 $x={\displaystyle \frac{2n^3+n}{8n^2+1}}$를 얻는다.

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_n}{n}}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{y/x}{n}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{4nx+2n^2}{nx}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(4+{\displaystyle \frac{2n}{x}})\\ & =4+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{2n(8n^2+1)}{2n^3+n}}\\ & =12\end{array}$