[160930] 16 수능 9월 모평 B형 30번

양의 실수 $a$와 두 실수 $b$, $c$에 대하여 함수 $f(x)=(ax^2+bx+c)e^x$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)$는 $x=-\sqrt{3}$과 $x=\sqrt{3}$에서 극값을 갖는다. (나) $0\le x_1\le x_2$인 임의의 두 실수 $x_1$, $x_2$에 대하여 $f(x_1)-f(x_2)+x_2-x_1\ge0$이다.

세 수 $a$, $b$, $c$의 곱 $abc$의 최댓값을 $\dfrac{k}{e^3}$라 할 때, $60k$의 값을 구하시오.

---

$f(x)$가 이차함수와 $e^x$의 곱으로 나타나므로 그 도함수 역시 이차함수와 $e^x$의 곱으로 나타난다.

(가) 조건에서 $\pm\sqrt{3}$에서 극값을 가지므로 $f'(x)=a(x^2-3)e^x$이다.

$\therefore f(x)=a(x^2-2x-1)e^x$이고, $b=-2a$, $c=-a$

 

(나) 조건의 식을 변형하면 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\ge-1$을 얻는다.

 

Claim : 주어진 조건은 $x\ge0$에 대하여 $f'(x)\ge-1$임과 동치이다. pf) ($\Rightarrow$) $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\ge-1$의 양변에 $x_2\to x_1$을 취하면 $f'(x_1)\ge-1$을 얻는다. ($\Leftarrow$) 평균값정리에 의해 $f'(c)=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$인 $c\in(x_2,x_1)$가 존재한다. $f'(c)\ge-1$이므로 주어진 조건을 얻는다.

 

$abc=2a^3$의 최댓값을 구하는 상황이므로 $a>0$으로 생각하자.

$f''(x)=a(x^2+2x-3)e^x=a(x-1)(x+3)e^x$이므로 $f'(x)$는 $x=1$에서 최솟값 $-2ae$를 가진다.

$-2ae\ge-1$에서 $a\le\dfrac{1}{2e}$

 

따라서 $abc=2a^3\le\dfrac{1}{4e^3}$이고 $k=\dfrac{1}{4}$, $60k=15$