[160930] 16 수능 9월 모평 B형 30번

양의 실수 $a$와 두 실수 $b$, $c$에 대하여 함수 $f(x)=(a{x}^2+bx+c)e^x$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)$는 $x=-\sqrt{3}$과 $x=\sqrt{3}$에서 극값을 갖는다. (나) $0\le x_1\le x_2$인 임의의 두 실수 $x_1$, $x_2$에 대하여 $f(x_1)-f(x_2)+x_2-x_1\ge 0$이다.

세 수 $a$, $b$, $c$의 곱 $abc$의 최댓값을 ${\displaystyle \frac{k}{e^3}}$라 할 때, $60k$의 값을 구하시오.

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$f(x)$가 이차함수와 $e^x$의 곱으로 나타나므로 그 도함수 역시 이차함수와 $e^x$의 곱으로 나타난다.

(가) 조건에서 $\pm \sqrt{3}$에서 극값을 가지므로 $f^{\prime }(x)=a(x^2-3)e^x$이다.

$\therefore f(x)=a(x^2-2x-1)e^x$이고, $b=-2a$, $c=-a$

 

(나) 조건의 식을 변형하면 ${\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\ge -1$을 얻는다.

 

Claim : 주어진 조건은 $x\ge 0$에 대하여 $f^{\prime }(x)\ge -1$임과 동치이다. pf) ($\Rightarrow$) ${\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\ge -1$의 양변에 $x_2\to x_1$을 취하면 $f^{\prime }(x_1)\ge -1$을 얻는다. ($\Leftarrow$) 평균값정리에 의해 $f^{\prime }(c)={\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$인 $c\in (x_2,x_1)$가 존재한다. $f^{\prime }(c)\ge -1$이므로 주어진 조건을 얻는다.

 

$abc=2a^3$의 최댓값을 구하는 상황이므로 $a>0$으로 생각하자.

$f^{″}(x)=a(x^2+2x-3)e^x=a(x-1)(x+3)e^x$이므로 $f^{\prime }(x)$는 $x=1$에서 최솟값 $-2ae$를 가진다.

$-2ae\ge -1$에서 $a\le {\displaystyle \frac{1}{2e}}$

 

따라서 $abc=2a^3\le {\displaystyle \frac{1}{4e^3}}$이고 $k={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $60k=15$