[110928] 11 수능 9월 모평 가형 미분과적분 28번

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $t$에 대하여 $\displaystyle\int^2_0 xf(tx)dx=4t^2$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은?

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$\begin{align*}4t^2 &= \displaystyle\int^2_0 xf(tx)dx \\&= \int^2_0 \dfrac{1}{t} tx f(tx) dx\\ &= \dfrac{1}{t^2}\int^{2t}_0xf(x)dx\end{align*}$

 

$\therefore \displaystyle\int^{2t}_0xf(x)dx = 4t^4$

 

양변을 $t$에 대해 미분하면

$4tf(2t)=16t^3$

$f(2t)=4t^2$

$f(t)=t^2$

 

$\therefore f(2)=4$