[110928] 11 수능 9월 모평 가형 미분과적분 28번

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $t$에 대하여 ${\displaystyle {\int }_0^{2}xf(tx)dx=4t^2}$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은?

---

$\begin{array}{rl}4t^2& ={\displaystyle {\int }_0^{2}xf(tx)dx}\\ & ={\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{t}}txf(tx)dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{t^2}}{\int }_0^{2t}xf(x)dx\end{array}$

 

$\therefore {\displaystyle {\int }_0^{2t}xf(x)dx=4t^4}$

 

양변을 $t$에 대해 미분하면

$4tf(2t)=16t^3$

$f(2t)=4t^2$

$f(t)=t^2$

 

$\therefore f(2)=4$