[211221] 21 수능 가형 21번

수열 $\{a_n\}$은 $0<a_1<1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_{2n}=a_2\times a_n +1$ (나) $a_{2n+1}=a_2\times a_n -2$

$a_8-a_{15}=63$일 때, $\dfrac{a_8}{a_1}$의 값은?

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(가)에 $n=1$을 대입하면 $a_2=a_2 a_1 +1$을 얻는다.

 

(가) 조건을 이용해 $a_8$을 구해보자.

$\begin{align*}a_8 &= a_2a_4+1 \\ &= a_2(a_2a_2+1)+1 \\ &= a_2^3+a_2+1\end{align*}$

 

(나) 조건을 이용해 $a_{15}$를 구해보자.

$\begin{align*}a_{15}&=a_2a_7-2\\&=a_2(a_2a_3-2)-2\\&=a_2(a_2(a_2a_1-2)-2)-2\\&=a_2(a_2(a_2-3)-2)-2 \quad (\because a_2a_1 = a_2 - 1)\\&=a_2^3-3a_2^2-2a_2-2\end{align*}$

 

$a_8-a_{15}=(a_2^3+a_2+1)-(a_2^3-3a_2^2-2a_2-2)=3a_2^2+3a_2+3=63$

$\therefore a_2^2+a_2-20=0, \quad a_2=4$ 또는 $a_2=-5$

 

$a_2=4$이면 $a_2=a_2 a_1+1$에서 $a_1=\dfrac{3}{4}$

$a_2=-5$이면 $a_2=a_2a_1+1$에서 $a_1=\dfrac{6}{5}$

$0<a_1<1$이므로 $a_1=\dfrac{3}{4}$이고, $a_2=4$이다.

 

$a_8=a_2^3+a_2+1=4^3+4+1=69$이므로 $\dfrac{a_8}{a_1}=69\times\dfrac{4}{3}=92$