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문제풀이

[211221] 21 수능 가형 21번

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수열 {an}0<a1<1이고, 모든 자연수 n에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) a2n=a2×an+1
(나) a2n+1=a2×an2

a8a15=63일 때, a8a1의 값은?


(가)에 n=1을 대입하면 a2=a2a1+1을 얻는다.

 

(가) 조건을 이용해 a8을 구해보자.

a8=a2a4+1=a2(a2a2+1)+1=a32+a2+1

 

(나) 조건을 이용해 a15를 구해보자.

a15=a2a72=a2(a2a32)2=a2(a2(a2a12)2)2=a2(a2(a23)2)2(

 

a8a15=(a23+a2+1)(a233a222a22)=3a22+3a2+3=63

a22+a220=0,a2=4 또는 a2=5

 

a2=4이면 a2=a2a1+1에서 a1=34

a2=5이면 a2=a2a1+1에서 a1=65

0<a1<1이므로 a1=34이고, a2=4이다.

 

a8=a23+a2+1=43+4+1=69이므로 a8a1=69×43=92

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