포항공대 수학경시대회 7회 4번 (1)

$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{\sin_k(2)}{\sin_k(1)}$을 구하여라.  ($\sin_1=\sin, \quad \sin_{n+1}=\sin\circ\sin_{n}$)

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임의의 실수 $x\in(0,\pi)$에 대하여, $x_n=\sin_n(x)$로 두자.

 

$x_{n+1}=\sin{x_n}$이고 $0<x_{n+1}<x_n$이 성립하므로 Banach fixed-point Thm에 의해 $x_n\to0$

 

$x\to0$이면, $\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}=\dfrac{x-\sin x}{x^3}\dfrac{x+\sin x}{x}\dfrac{x^2}{\sin^2x}\to\dfrac{1}{6}\cdot2\cdot1=\dfrac{1}{3}$이므로

 

$n\to\infty$이면, $x_n\to0$이므로 $\dfrac{1}{x_{n+1}^2}-\dfrac{1}{x_n^2}=\dfrac{1}{\sin^2{x_n}}-\dfrac{1}{x_n^2}\to\dfrac{1}{3}$이다.

 

$a_n\to a$일 때, $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\to a$이므로 ($\because$ Cesàro mean)

 

$\dfrac{1}{n}(\dfrac{1}{x_{n+1}^2}-\dfrac{1}{x_1^2})=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(\dfrac{1}{x_{i+1}^2}-\dfrac{1}{x_i^2})\to\dfrac{1}{3}$이다.

 

따라서 $\dfrac{1}{x_n^2}\sim\dfrac{n}{3}$이고 $x_n\sim\sqrt{\dfrac{3}{n}}$

 

즉, $\sqrt{n}x_n\to\sqrt{3}$이다.

 

$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{\sin_k(2)}{\sin_k(1)}=\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{\sqrt{k}\sin_k(2)}{\sqrt{k}\sin_k(1)}=\dfrac{\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt{k}\sin_k(2)}{\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt{k}\sin_k(1)}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$