[151030] 2015년 10월 학평 A형 30번

양의 실수 $x$에 대하여 $\log{x}$의 소수 부분을 $f(x)$라 하자. 다음 조건을 만족시키는 $a$와 $n$에 대하여 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오.

(가) $f(a)=f(a^{2n})$ (나) $(n+1)\log{a}=3n^2-4n+4$

---

(가) 조건에서 $\log{a}$와 $\log{a^{2n}}$의 소수 부분이 같으므로 $\log{a^{2n}}-\log{a}=(2n-1)\log{a}\in\mathbb{N}$이다.

어떤 $k\in\mathbb{N}$에 대하여 $\log{a}=\frac{k}{2n-1}$이 성립한다.

(나) 조건에 이를 대입하자.

$(n+1)\frac{k}{2n-1} = 3n^2-4n+4$

$k(n+1)=(2n-1)(3n^2-4n+4)$

이를 만족하는 $k\in\mathbb{N}$이 존재하려면 $(n+1) \mid (2n-1)(3n^2-4n+4)$이어야한다.

$(2n-1)(3n^2-4n+4)$를 $n+1$로 나눈 나머지는 $(2\cdot(-1)-1)(3\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)+4)=-33$이므로 $n+1$은 $33$의 약수여야한다.

$\therefore n = 32, 10, 2$

모든 $n$의 값의 합은 $44$