[211229] 21 수능 나형 29번

숫자 3, 3, 4, 4, 4가 하나씩 적힌 5개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적힌 수가 3이면 주사위를 3번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합을 점수로 하고, 꺼낸 공에 적힌 수가 4이면 주사위를 4번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합을 점수로 한다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 10점일 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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주머니에서 공을 꺼냈을 때, 적힌 수가 3일 확률은 $\frac{2}{5}$이고, 4일 확률은 $\frac{3}{5}$이다.

 

주사위를 3번 던져서 눈의 수의 합이 10이 되려면 $(1,3,6),(1,4,5),(2,2,6),(2,3,5),(2,4,4),(3,3,4)$가 나와야한다.

세 눈의 수가 다르면 $3!=$6가지의 경우의 수가 있고, 두 눈의 수만 같으면 3가지 경우의수가 있다.

세 눈의 수가 다른 것이 3개, 두 눈의 수만 같은 것이 3개이므로 총 27가지이다.

주사위를 3번 던졌을 때, 총 경우의 수는 216가지이므로 세 눈의 수의 합이 10일 확률은 $\frac{27}{216}=\frac{1}{8}$

 

네 눈의 합이 10이 되려면 $(1,1,2,6),(1,1,3,5),(1,1,4,4),(1,2,2,5),(1,2,3,4),(1,3,3,3),(2,2,2,4),(2,2,3,3)$이 나와야한다.

네 눈의 수가 모두 다르면 $4!=$24가지, 두 눈의 수만 같으면 12가지, 세 눈의 수가 같으면 4가지, 두 눈씩 서로 같으면 6가지 경우의 수가 있다.

네 눈의 수가 모두 다른 것이 하나, 두 눈의 수만 같은 것이 3개, 세 눈의 수가 같은 것이 2개, 두 눈씩 서로 같은 것은 2개이므로 총 80가지이다.

주사위를 4번 던졌을 때, 총 경우의 수는 1296가지이므로 네 눈의 수의 합이 10일 확률은 $\frac{80}{1296}=\frac{5}{81}$

 

따라서 이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 10점일 확률은 $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{8}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{81}=\frac{47}{540}$이다.

$\therefore p=540,q=47,p+q=587$