[211229] 21 수능 가형 29번

네 명의 학생 A, B, C, D에게 검은색 모자 6개와 흰색 모자 6개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.)

(가) 각 학생은 1개 이상의 모자를 받는다. (나) 학생 A가 받는 검은색 모자의 개수는 4 이상이다. (다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생은 A를 포함하여 2명뿐이다.

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(나) 조건에서 학생 A는 검은색 모자를 4개 이상 받아야하고, (다) 조건에서 검은색 모자를 받은 학생은 둘 이상이 되므로 학생 A가 받는 검은색 모자의 수는 4개 혹은 5개 입니다.

따라서 네 학생에게 검은색 모자는 $(4,2,0,0), (4,1,1,0), (5,1,0,0)$ 세 경우 중 하나로 분배되어야합니다.

 

i) 검은색 모자가 4개, 2개, 0개, 0개로 분배된 경우

검은색 모자를 2개 받는 학생을 B, C, D 중 하나로 골라야하므로 3가지 경우가 있습니다.

(다) 조건에 의해 그 학생은 흰색 모자를 1개 또는 0개 받아야합니다.

그리고 (가) 조건에 의해 모든 학생이 하나 이상의 모자를 받아야 하므로 검은색 모자를 받지 않은 학생이 최소 하나의 흰색 모자를 받아야합니다.

i-1) 검은색 모자를 2개 받은 학생이 흰색 모자를 1개 받은 경우

나머지 두 학생에게 흰색 모자를 1개씩 나누어 주면 흰색 모자가 3개 남습니다.

검은색 모자를 2개 받은 학생은 받은 흰색 모자의 수가 정해졌으므로 나머지 3명이 3개를 나누어 가지면 됩니다.

3명의 학생 중에 중복을 포함하여 3명을 뽑는 경우의 수이므로 $_3 H_3 = _5 C_3 = 10$

i-2) 검은색 모자를 2개 받은 학생이 흰색 모자를 0개 받은 경우

i-1과 같이 두 학생에게 흰색 모자 하나씩을 나누어 주고 남은 4개의 흰색 모자를 3명이 나누어 가지면 됩니다.

$_3 H _4 = _6 C_4 = 15$

i-1과 i-2의 경우의 수를 합하면 25가지입니다.

이때, 학생 A가 흰색 모자를 4개 받을 경우 (다) 조건이 깨지게 됩니다.

i-2의 경우 검은색 모자를 $(4,2,0,0)$으로 나누어 주었는데 흰색 모자를 $(4,0,1,1)$로 나누어주면 (다) 조건에 어긋납니다.

25가지에서 하나를 제외한 24가지와 검은색 모자를 2개 받을 학생을 고르는 3가지에서 곱의 법칙에 의해 총 72가지

 

ii) 검은색 모자가 4개, 1개, 1개, 0개로 분배된 경우

검은색 모자를 받지 않은 학생을 뽑는 경우의 수는 3가지입니다.

(다) 조건에 의해 검은색 모자를 1개 받은 학생 중 1명은 흰색 모자를 받지 않아야하고, 다른 1명은 하나 이상 받아야합니다.

따라서 검은색 모자를 1개, 1개, 0개 받은 학생에게 각각 흰색 모자를 0개, 1개, 1개 나누어 준 뒤 (1개, 0개)를 받은 학생을 제외한 3명이 남은 4개의 흰색 모자를 나누어 가지면 됩니다.

여기서 흰색 모자를 받지 않을 학생을 고르는 경우의 수는 2가지 입니다.

3명이 4개의 흰색 모자를 나누어 가지는 수는 $_3 H_4 = _6 C_4 = 15$

이때, 검은색 모자를 $(4,1,1,0)$으로 분배했는데 $(4,0,1,1)$로 분배하는 경우 (다) 조건이 깨지게 됩니다.

$14\times2\times3=84$이므로 곱의 법칙에 의해 총 경우의 수는 84가지

 

iii) 검은색 모자가 5개, 1개, 0개, 0개로 분배된 경우

검은색 모자를 1개 받은 학생을 고르는 경우의 수는 3가지이고, 그 학생은 흰색 모자를 받지 않아야합니다.

검은색 모자를 받지 않은 학생들에게 흰색 모자를 1개씩 주고, 남은 4개를 3명이 나누어 가지면 되므로 $_3 H_4 = _6 C_4 = 15$

곱의 법칙에 의해 총 45가지

 

i), ii), iii)에서 총 경우의 수는 201가지