[210930] 21 수능 9월 모평 가형 30번

다음 조건을 만족시키는 실수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자.

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $-e^{-x+1}\le ax+b \le e^{x-2}$ 이 성립한다.

$|M\times m^3| = \frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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$f(x)=-e^{-x+1}, g(x)=e^{x-2}$라 하자.

조건의 부등식이 성립하기 위해선 $y=ax+b$가 나타내는 직선이 $y=f(x), y=g(x)$의 그래프 사이에 있어야 한다.

이는 이 직선이 기울기가 같은 $y=f(x)$의 접선의 위에, 그리고 기울기가 같은 $y=g(x)$의 접선의 아래에 있다는 뜻이다.

 

$f'(x)=e^{-x+1}, \quad g'(x)=e^{x-2}$이므로 $(\alpha, f(\alpha)), (\beta, g(\beta))$를 지나는 각각의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$y=e^{-\alpha+1}(x-\alpha)-e^{-\alpha+1}, \quad y=e^{\beta-2}(x-\beta)+e^{\beta-2}$

 

$a= e^{-\alpha+1} = e^{\beta-2} \quad (a>0)$으로 두면, 두 직선의 방정식은 다음과 같다.

$y = ax +a(\ln a-2), \quad y = ax - a (\ln a+1)$

$\therefore ax+a(\ln a-2) \le ax+b \le ax-a(\ln a+1)$

 

$a(\ln a-2) \le b \le -a(\ln a+1)$

이때, $a(\ln a-2) \le -a(\ln a+1)$에서 $\ln a-2 \le -\ln a -1, \quad 2\ln a \le 1, \quad a \le e^{\frac {1}{2}}$여야 한다.

 

$a^2(\ln a-2) \le ab \le -a^2(\ln a+1)$

$h(a)=a^2(\ln a-2), \quad k(a) = -a^2(\ln a+1)$이라 하면 $h'(a)=a(2\ln a-3), \quad k'(a)=-a(2\ln a+3)$이디.

$0<a\le e^\frac{1}{2}$이므로 $h(a)$는 $a=e^\frac{1}{2}$에서 최솟값 $-\frac{3}{2}e$를 가지고,  $k(a)$는 $a=e^{-\frac{3}{2}}$에서 최댓값 $\frac{1}{2}e^{-3}$을 가진다.

$\therefore m=-\frac{3}{2}e, \quad M=\frac{1}{2}e^{-3}$

 

$|M\times m^3| = |\frac{1}{2}e^{-3}\times(-\frac{3}{2}e)^3| = \frac{27}{16}$

$p=16,\quad q=27,\quad p+q=43$