[201130] 20 수능 가형 30번

양의 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=t^3 ln(x-t)$가 곡선 $y=2e^{x-a}$과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 $a$의 값을 $f(t)$라 하자. $\{f'(\frac{1}{3})\}^2$의 값을 구하시오.

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$y=2e^{x-a}$은 $y=2e^{x}$을 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동시킨 곡선이다.

$x$축 방향으로 평행이동시켜 두 곡선이 한 점에서 만나기 위해서는, 두 곡선의 역함수의 차의 최솟값만큼만 평행이동시키면 된다.

두 곡선의 역함수는 각각 $x=e^{\frac{y}{t^3}}+t$, $x=lny-ln2$이므로 $f(t)=\displaystyle\min_{y} (e^{\frac{y}{t^3}}+t-lny+ln2)$

$g(y)=e^{\frac{y}{t^3}}+t-lny+ln2$라 하면 $g'(y)=\frac{1}{t^3}e^{\frac{y}{t^3}}-\frac{1}{y}$이다.

$e^y=\frac{1}{y}$의 해를 $\alpha$라 하면 $y=t^3\alpha$일때, $g'(y)=0$이고 $g(y)$가 최솟값을 가진다.

$\therefore f(t)= g(t^3\alpha) =e^\alpha+t-3lnt-ln\alpha+ln2$

$f'(t)=1-\frac{3}{t}$

$\{f'(\frac{1}{3})\}^2=64$