포항공대 수학경시대회 9회 2번 (1)

두 번 미분 가능한 실함수 $f$가 $f(0)=0$이고 $0$ 이상의 모든 실수 $x$에 대하여 $|f^{″}(x)|\le 1$을 만족한다.

 

임의의 양수 $a$에 대하여 ${\displaystyle \frac{1}{a}}{\displaystyle {\int }_0^1|{\displaystyle \frac{f(ax)}{a}}-f^{\prime }(0)x|dx\le {\displaystyle \frac{1}{3}}}$임을 보여라.

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평균값 정리에 의하여 ${\displaystyle \frac{f(ax)}{ax}}={\displaystyle \frac{f(ax)-f(0)}{ax-0}}=f^{\prime }(c_1)$을 만족하는 $c_1\in (0,ax)$가 존재한다.

이 $c_1$에 대해 ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(c_1)-f^{\prime }(0)}{c_1}}=f^{″}(c_2)$를 만족하는 $c_2\in (0,c_1)$이 존재한다.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{a}}{\displaystyle {\int }_0^1|{\displaystyle \frac{f(ax)}{a}}-f^{\prime }(0)x|dx}& ={\displaystyle \frac{1}{a}}{\displaystyle {\int }_0^1|f^{\prime }(c_1)x-f^{\prime }(0)x|dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{a}}{\displaystyle {\int }_0^1|(f^{\prime }(c_1)-f^{\prime }(0))x|dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{a}}{\displaystyle {\int }_0^1|f^{″}(c_2)c_{1}x|dx}\\ & \le {\displaystyle \frac{1}{a}}{\displaystyle {\int }_0^1|a{f}^{″}(c_2)x^2|dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^1|f^{″}(c_2)|x^{2}dx}\\ & \le {\displaystyle {\int }_0^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}}\end{array}$