포항공대 수학경시대회 9회 2번 (1)

두 번 미분 가능한 실함수 $f$가 $f(0)=0$이고 $0$ 이상의 모든 실수 $x$에 대하여 $|f''(x)|\le1$을 만족한다.

 

임의의 양수 $a$에 대하여 $\dfrac{1}{a}\displaystyle\int^1_0\left\lvert\dfrac{f(ax)}{a}-f'(0)x\right\rvert dx\le\dfrac{1}{3}$임을 보여라.

---

평균값 정리에 의하여 $\dfrac{f(ax)}{ax}=\dfrac{f(ax)-f(0)}{ax-0}=f'(c_1)$을 만족하는 $c_1\in(0,ax)$가 존재한다.

이 $c_1$에 대해 $\dfrac{f'(c_1)-f'(0)}{c_1}=f''(c_2)$를 만족하는 $c_2\in(0,c_1)$이 존재한다.

$\begin{align*}\dfrac{1}{a}\displaystyle\int^1_0\left\lvert\dfrac{f(ax)}{a}-f'(0)x\right\rvert dx&=\dfrac{1}{a}\displaystyle\int^1_0\left\lvert f'(c_1)x-f'(0)x\right\rvert dx\\&=\dfrac{1}{a}\displaystyle\int^1_0\left\lvert(f'(c_1)-f'(0))x\right\rvert dx\\&=\dfrac{1}{a}\displaystyle\int^1_0\left\lvert  f''(c_2)c_1x\right\rvert dx\\&\le\dfrac{1}{a}\displaystyle\int^1_0\left\lvert af''(c_2)x^2 \right\rvert dx\\&=\displaystyle\int^1_0\left\lvert f''(c_2)\right\rvert x^2dx\\&\le\displaystyle\int^1_0x^2dx=\dfrac{1}{3}\end{align*}$