포항공대 수학경시대회 7회 5번

$a<b$인 두 실수 $a,b$와 연속인 두 실함수 $f_1,f_2$에 대하여

${\displaystyle {\int }_a^b|f_1(x)+f_2(x)-{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^b(f_1(y)+f_2(y))dy}|dx\le 2\left[{\displaystyle {\int }_a^b|f_1(x)-1|dx+{\displaystyle {\int }_a^b|f_2(x)-2|dx}}\right]}$

임을 보여라

---

Claim $a<b$인 두 실수 $a,b$와 연속인 실함수 $f$, 임의의 실수 $m$에 대하여 ${\displaystyle {\int }_a^b|f(x)-{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(y)dy}|dx\le 2{\displaystyle {\int }_a^b|f(x)-m|dx}}$가 성립한다. pf) $\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_a^b|f(x)-{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(y)dy}|dx}& ={\displaystyle {\int }_a^b|(f(x)-m)+(m-{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(y)dy})|dx}\\ & \le {\displaystyle {\int }_a^b|f(x)-m|dx+{\displaystyle {\int }_a^b\left|{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^b(m-f(y))dy}\right|dx}}\\ & ={\displaystyle {\int }_a^b|f(x)-m|dx+\left|{\displaystyle {\int }_a^b(m-f(y))dy}\right|}\\ & \le {\displaystyle {\int }_a^b|f(x)-m|dx+{\displaystyle {\int }_a^b|m-f(y)|dy}}\\ & =2{\displaystyle {\int }_a^b|f(x)-m|dx}\end{array}$

 

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_a^b|f_1(x)+f_2(x)-{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^b(f_1(y)+f_2(y))dy}|dx}\\ & \le {\displaystyle {\int }_a^b|f_1(x)-{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^b{f}_1(y)dy}|dx+{\displaystyle {\int }_a^b|f_2(x)-{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^b{f}_2(y)dy}|dx}}\\ & \le 2{\displaystyle {\int }_a^b|f_1(x)-1|dx+2{\displaystyle {\int }_a^b|f_2(x)-2|dx(\because Claim)}}\\ & =2\left[{\displaystyle {\int }_a^b|f_1(x)-1|dx+{\displaystyle {\int }_a^b|f_2(x)-2|dx}}\right]\end{array}$