포항공대 수학경시대회 7회 5번

$a<b$인 두 실수 $a, b$와 연속인 두 실함수 $f_1, f_2$에 대하여

$\displaystyle\int^b_a\left\lvert f_1(x)+f_2(x)-\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int^b_a(f_1(y)+f_2(y))dy\right\rvert dx\le2\left[\displaystyle\int^b_a\left\lvert f_1(x)-1\right\rvert dx + \displaystyle\int^b_a\left\lvert f_2(x)-2\right\rvert dx\right]$

임을 보여라

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Claim $a<b$인 두 실수 $a, b$와 연속인 실함수 $f$, 임의의 실수 $m$에 대하여 $\displaystyle\int^b_a\left\lvert f(x)-\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int^b_a f(y)dy\right\rvert dx \le 2\displaystyle\int^b_a\left\lvert f(x)-m\right\rvert dx$가 성립한다. pf) $\begin{align*}\displaystyle\int^b_a\left\lvert f(x)-\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int^b_a f(y)dy\right\rvert dx&=\displaystyle\int^b_a\left\lvert \left(f(x)-m\right)+\left(m-\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int^b_a f(y)dy\right)\right\rvert dx\\&\le\displaystyle\int^b_a\left\lvert f(x)-m\right\rvert dx +\displaystyle\int^b_a\left\lvert\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int^b_a\left(m-f(y)\right)dy\right\rvert dx\\&=\displaystyle\int^b_a\left\lvert f(x)-m\right\rvert dx + \left\lvert\displaystyle\int^b_a\left(m-f(y)\right)dy\right\rvert\\&\le\displaystyle\int^b_a\left\lvert f(x)-m\right\rvert dx + \displaystyle\int^b_a\left\lvert m-f(y)\right\rvert dy\\&=2\displaystyle\int^b_a\left\lvert f(x)-m\right\rvert dx\end{align*}$

 

$\begin{align*}&\displaystyle\int^b_a\left\lvert f_1(x)+f_2(x)-\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int^b_a(f_1(y)+f_2(y))dy\right\rvert dx \\&\le\displaystyle\int^b_a\left\lvert f_1(x)-\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int^b_a f_1(y)dy\right\rvert dx + \displaystyle\int^b_a\left\lvert f_2(x)-\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int^b_a f_2(y)dy\right\rvert dx\\&\le 2\displaystyle\int^b_a\left\lvert f_1(x)-1\right\rvert dx + 2\displaystyle\int^b_a\left\lvert f_2(x)-2\right\rvert dx \quad (\because Claim) \\ &= 2\left[\displaystyle\int^b_a\left\lvert f_1(x)-1\right\rvert dx + \displaystyle\int^b_a\left\lvert f_2(x)-2\right\rvert dx\right]\end{align*}$