[111128] 11 수능 가형 미분과적분 28번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2x)=2f(x)f^{\prime }(x)$이고, $f(a)=0$, ${\displaystyle {\int }_{2a}^{4a}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}dx=k}$ $(a>0,0<k<1)$일 때, ${\displaystyle {\int }_a^{2a}{\displaystyle \frac{\{f(x){\}}^2}{x^2}}dx}$의 값을 $k$로 나타낸 것은?

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$f(2a)=2f(a)f^{\prime }(a)=0$

 

$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_a^{2a}{\displaystyle \frac{\{f(x){\}}^2}{x^2}}dx}& ={[-{\displaystyle \frac{\{f(x){\}}^2}{x}}]}_a^{2a}+{\int }_a^{2a}{\displaystyle \frac{2f(x)f^{\prime }(x)}{x}}dx\\ & =-{\displaystyle \frac{\{f(2a){\}}^2}{2a}}+{\displaystyle \frac{\{f(a){\}}^2}{a}}+{\int }_a^{2a}{\displaystyle \frac{f(2x)}{x}}dx\\ & ={\int }_{2a}^{4a}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}dx\\ & =k\end{array}$