[111128] 11 수능 가형 미분과적분 28번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2x)=2f(x)f'(x)$이고, $f(a)=0$, $\displaystyle\int^{4a}_{2a}\dfrac{f(x)}{x}dx=k$ $(a>0, 0<k<1)$일 때, $\displaystyle\int^{2a}_a\dfrac{\{f(x)\}^2}{x^2}dx$의 값을 $k$로 나타낸 것은?

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$f(2a)=2f(a)f'(a)=0$

 

$\begin{align*}\displaystyle\int^{2a}_{a}\dfrac{\{f(x)\}^2}{x^2}dx&=\left[-\dfrac{\{f(x)\}^2}{x}\right]^{2a}_a+\int^{2a}_{a}\dfrac{2f(x)f'(x)}{x}dx\\&=-\dfrac{\{f(2a)\}^2}{2a}+\dfrac{\{f(a)\}^2}{a}+\int^{2a}_{a}\dfrac{f(2x)}{x}dx\\&=\int^{4a}_{2a}\dfrac{f(x)}{x}dx\\&=k\end{align*}$