[210321] 2021년 3월 학평 21번

$\overline{AB}=2$, $\overline{AC}\parallel\overline{BD}$, $\overline{AC}:\overline{BD}=1:2$인 두 삼각형 $ABC$, $ABD$가 있다. 점 $C$에서 선분 $AB$에 내린 수선의 발 $H$는 선분 $AB$를 $1:3$으로 내분한다. 두 삼각형 $ABC$, $ABD$의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $r$, $R$라 할 때, $4(R^2-r^2)\times\sin^2(\angle CAB)=51$이다. $\overline{AC}^2$의 값을 구하시오. (단, $\angle CAB <\dfrac{\pi}{2}$)

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점 $D$에서 선분 $AB$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H'$이라 하자.

$\overline{AC}$와 $\overline{BD}$가 평행하므로 $\angle DBH'=\angle CAH$이다.

 

삼각형 $ABC$에서 각 $A$에 대해 사인법칙을 적용하면 $\overline{BC}=2r\sin(\angle CAB)$를 얻는다.

삼각형 $ABD$에서 각 $DBA$에 대해 사인법칙을 적용하면 $\overline{AD}=2R\sin(\angle DBA)=2R\sin(\angle DBH')=2R\sin(\angle CAB)$를 얻는다.

$\therefore 4(R^2-r^2)\times\sin^2(\angle CAB) = \overline{AD}^2-\overline{BC}^2$

 

삼각형 $BCH$에서 선분 $BH$의 길이는 $\dfrac{3}{2}$이므로 $\overline{BC}^2=\overline{CH}^2+\dfrac{9}{4}$

삼각형 $BDH'$은 삼각형 $ACH$와 닮음비 $2:1$이므로 $\overline{BH'}=2\overline{AH}=1$이고 $\overline{DH'}=2\overline{CH}$이다.

삼각형 $ADH'$에 피타고라스의 정리를 적용하면 $\overline{AD}^2=\overline{AH'}^2+\overline{DH'}^2=9+4\overline{CH}^2$

$\overline{AD}^2-\overline{BC}^2=3\overline{CH}^2+\dfrac{27}{4}=51$

$\therefore \overline{CH}^2= \dfrac{59}{4}$

 

삼각형 $ACH$에서 $\overline{AC}^2=\overline{AH}^2+\overline{CH}^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{59}{4}=15$