[210321] 2021년 3월 학평 21번

$\overline{AB}=2$, $\overline{AC}\parallel \overline{BD}$, $\overline{AC}:\overline{BD}=1:2$인 두 삼각형 $ABC$, $ABD$가 있다. 점 $C$에서 선분 $AB$에 내린 수선의 발 $H$는 선분 $AB$를 $1:3$으로 내분한다. 두 삼각형 $ABC$, $ABD$의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $r$, $R$라 할 때, $4(R^2-r^2)\times {\sin }^2(\mathrm{\angle }CAB)=51$이다. ${\overline{AC}}^2$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{\angle }CAB<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$)

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점 $D$에서 선분 $AB$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H^{\prime }$이라 하자.

$\overline{AC}$와 $\overline{BD}$가 평행하므로 $\mathrm{\angle }DB{H}^{\prime }=\mathrm{\angle }CAH$이다.

 

삼각형 $ABC$에서 각 $A$에 대해 사인법칙을 적용하면 $\overline{BC}=2r\sin (\mathrm{\angle }CAB)$를 얻는다.

삼각형 $ABD$에서 각 $DBA$에 대해 사인법칙을 적용하면 $\overline{AD}=2R\sin (\mathrm{\angle }DBA)=2R\sin (\mathrm{\angle }DB{H}^{\prime })=2R\sin (\mathrm{\angle }CAB)$를 얻는다.

$\therefore 4(R^2-r^2)\times {\sin }^2(\mathrm{\angle }CAB)={\overline{AD}}^2-{\overline{BC}}^2$

 

삼각형 $BCH$에서 선분 $BH$의 길이는 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$이므로 ${\overline{BC}}^2={\overline{CH}}^2+{\displaystyle \frac{9}{4}}$

삼각형 $BD{H}^{\prime }$은 삼각형 $ACH$와 닮음비 $2:1$이므로 $\overline{B{H}^{\prime }}=2\overline{AH}=1$이고 $\overline{D{H}^{\prime }}=2\overline{CH}$이다.

삼각형 $AD{H}^{\prime }$에 피타고라스의 정리를 적용하면 ${\overline{AD}}^2={\overline{A{H}^{\prime }}}^2+{\overline{D{H}^{\prime }}}^2=9+4{\overline{CH}}^2$

${\overline{AD}}^2-{\overline{BC}}^2=3{\overline{CH}}^2+{\displaystyle \frac{27}{4}}=51$

$\therefore {\overline{CH}}^2={\displaystyle \frac{59}{4}}$

 

삼각형 $ACH$에서 ${\overline{AC}}^2={\overline{AH}}^2+{\overline{CH}}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{59}{4}}=15$