[210330] 2021년 3월 학평 미적분 30번

자연수 $n$에 대하여 삼차함수 $f(x)=x(x-n)(x-3n^2)$이 극대가 되는 $x$를 $a_n$이라 하자. $x$에 대한 방정식 $f(x)=f(a_n)$의 근 중에서 $a_n$이 아닌 근을 $b_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_nb_n}{n^3}=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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$f(x)$가 $a_n$에서 극댓값을 가지고, 그 값이 $b_n$에서의 함수값과 같으므로 $f(x)=(x-a_n)^2(x-b_n)+c$ ($c$는 상수)로 둘 수 있다.

$x(x-n)(x-3n^2)=(x-a_n)^2(x-b_n)+c$에서 이차항끼리 비교하면 $2a_n+b_n=3n^2+n$을 얻는다.

 

$f'(x)=x(x-n)+x(x-3n^2)+(x-n)(x-3n^2)=3x^2-2(3n^2+n)x+3n^3$

$a_n$은 $f'(x)=0$의 두 근 중 작은 것이므로 $a_n=\dfrac{3n^2+n-\sqrt{(3n^2+n)^2-9n^3}}{3}$

 

$\begin{align*}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n}&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+1-\sqrt{(3n+1)^2-9n}}{3}\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(3n+1)^2-((3n+1)^2-9n)}{3(3n+1+\sqrt{(3n+1)^2-9n})}\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n}{3n+1+\sqrt{(3n+1)^2-9n}}\\&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$

 

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_nb_n}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n(3n^2+n-2a_n)}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n}\dfrac{3n^2+n-2a_n}{n^2}=\dfrac{3}{2}$

 

$\therefore p=2$, $q=3$, $p+q=5$