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문제풀이

[210330] 2021년 3월 학평 미적분 30번

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자연수 n에 대하여 삼차함수 f(x)=x(xn)(x3n2)이 극대가 되는 xan이라 하자. x에 대한 방정식 f(x)=f(an)의 근 중에서 an이 아닌 근을 bn이라 할 때, lim이다. p+q의 값을 구하시오. (단, pq는 서로소인 자연수이다.)


f(x)an에서 극댓값을 가지고, 그 값이 bn에서의 함수값과 같으므로 f(x)=(xan)2(xbn)+c (c는 상수)로 둘 수 있다.

x(xn)(x3n2)=(xan)2(xbn)+c에서 이차항끼리 비교하면 2an+bn=3n2+n을 얻는다.

 

f(x)=x(xn)+x(x3n2)+(xn)(x3n2)=3x22(3n2+n)x+3n3

anf(x)=0의 두 근 중 작은 것이므로 an=3n2+n(3n2+n)29n33

 

limnann=limn3n+1(3n+1)29n3=limn(3n+1)2((3n+1)29n)3(3n+1+(3n+1)29n)=limn3n3n+1+(3n+1)29n=12

 

limnanbnn3=limnan(3n2+n2an)n3=limnann3n2+n2ann2=32

 

p=2, q=3, p+q=5

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