[210328] 2021년 3월 학평 기하 28번

자연수 $n$에 대하여 초점이 $F$인 포물선 $y^2=2x$ 위의 점 $P_n$이 $\overline{FP_n}=2n$을 만족시킬 때, $\displaystyle\sum^8_{n=1}\overline{OP_n}^2$의 값은? (단, $O$는 원점이고, 점 $P_n$은 제1사분면에 있다.)

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주어진 포물선의 준선은 $x=-\dfrac{1}{2}$이다.

포물선 위의 점은 초점과의 거리와 준선까지의 거리와 같으므로 $P_n$의 $x$좌표는 $2n-\dfrac{1}{2}$이다.

$P_n$의 좌표를 $(x_n,y_n)$이라고 하면 $\overline{OP_n}=x_n^2+y_n^2=x_n^2+2x_n=(2n-\dfrac{1}{2})^2+2(2n-\dfrac{1}{2})=4n^2+2n-\dfrac{3}{4}$

$\begin{align*}\displaystyle\sum^8_{n=1}\overline{OP_n}^2&=\sum^8_{n=1}(4n^2+2n-\dfrac{3}{4})\\&=4\cdot\dfrac{8\cdot9\cdot17}{6}+2\cdot\dfrac{8\cdot9}{2}-8\cdot\dfrac{3}{4} \\&=882\end{align*}$