[210328] 2021년 3월 학평 기하 28번

자연수 $n$에 대하여 초점이 $F$인 포물선 $y^2=2x$ 위의 점 $P_n$이 $\overline{F{P}_n}=2n$을 만족시킬 때, ${\displaystyle \sum _{n=1}^8{\overline{O{P}_n}}^2}$의 값은? (단, $O$는 원점이고, 점 $P_n$은 제1사분면에 있다.)

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주어진 포물선의 준선은 $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$이다.

포물선 위의 점은 초점과의 거리와 준선까지의 거리와 같으므로 $P_n$의 $x$좌표는 $2n-{\displaystyle \frac{1}{2}}$이다.

$P_n$의 좌표를 $(x_n,y_n)$이라고 하면 $\overline{O{P}_n}=x_n^2+y_n^2=x_n^2+2x_n=(2n-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+2(2n-{\displaystyle \frac{1}{2}})=4n^2+2n-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^8{\overline{O{P}_n}}^2}& =\sum _{n=1}^8(4n^2+2n-{\displaystyle \frac{3}{4}})\\ & =4\cdot {\displaystyle \frac{8\cdot 9\cdot 17}{6}}+2\cdot {\displaystyle \frac{8\cdot 9}{2}}-8\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ & =882\end{array}$