[210330] 2021년 3월 학평 기하 30번

두 초점이 $F(c,0)$, $F^{\prime }(-c,0)$ $(c>0)$이고 장축의 길이가 12인 타원이 있다. 점 $F$가 초점이고 직선 $x=-k$ $(k>0)$이 준선인 포물선이 타원과 제2사분면의 점 $P$에서 만난다. 점 $P$에서 직선 $x=-k$에 내린 수선의 발을 $Q$라 할 때, 두 점 $P$, $Q$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\cos (\mathrm{\angle }{F}^{\prime }FP)={\displaystyle \frac{7}{8}}$ (나) $\overline{FP}-\overline{F^{\prime }Q}=\overline{PQ}-\overline{F{F}^{\prime }}$

$c+k$의 값을 구하시오.

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포물선의 정의에 따라 $\overline{PQ}=\overline{FP}$이다.

(나) 조건에 의해 $\overline{F^{\prime }Q}=\overline{F{F}^{\prime }}$

사각형 $F^{\prime }FPQ$는 한 쌍의 변이 평행하고 이웃한 두 변의 길이가 같으므로 마름모이다.

 

삼각형 $F^{\prime }FP$에 코사인 법칙을 적용하자.

$\overline{P{F}^{\prime }}=(2c{)}^2+(2c{)}^2-2\cdot 2c\cdot 2c{\displaystyle \frac{7}{8}}=c^2$

$\therefore \overline{P{F}^{\prime }}=c$

 

타원의 정의에 의해 $\overline{P{F}^{\prime }}+\overline{PF}=c+2c=3c=12$, 따라서 $c=4$

 

점 $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 주어진 준선과 $x$축이 만나는 점을 $Q^{\prime }$이라 하자.

$\overline{F{Q}^{\prime }}=\overline{FO}+\overline{O{Q}^{\prime }}=c+k$

$\overline{F{Q}^{\prime }}=\overline{FH}+\overline{H{Q}^{\prime }}=\overline{PF}\cdot \cos (\mathrm{\angle }{F}^{\prime }FP)+\overline{PQ}=2c\cdot {\displaystyle \frac{7}{8}}+2c=15$

$\therefore c+k=15$