[210322] 2021 3월 학평 22번

양수 $a$와 일차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)={\displaystyle {\int }_0^x(t^2-4)(|f(t)|-a)dt}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$는 극값을 갖지 않는다. (나) $g(2)=5$

$g(0)-g(-4)$의 값을 구하시오.

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(가) 조건에서 $g^{\prime }(x)=(x^2-4)(|f(x)|-a)$의 부호가 변하지 않아야한다.

$x^2-4$는 $\pm 2$에서 부호가 변하므로 $|f(x)|-a$도 $\pm 2$에서 부호가 변해야한다.

$|f(x)|-a=\{\begin{array}{l}m(x-2)(x\ge 0)\\ -m(x+2)(x<0)\end{array}$

 

이제 (나) 조건을 보자

$\begin{array}{rl}g(2)& ={\displaystyle {\int }_0^2(t^2-4)\cdot m(t-2)}\\ & ={\int }_0^{2}m(t^3-2t^2-4t+8)\\ & ={[m({\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^4-{\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^3-2t^2+8t)]}_0^2\\ & ={\displaystyle \frac{20m}{3}}=5\end{array}$

$\therefore m={\displaystyle \frac{3}{4}}$

 

$\begin{array}{rl}g(0)-g(-4)& ={\displaystyle {\int }_{-4}^0(t^2-4)\cdot (-{\displaystyle \frac{3}{4}}(t+2))dt}\\ & =-{\displaystyle \frac{3}{4}}{\int }_{-4}^0(t^3+2t^2-4t-8)dt\\ & =-{\displaystyle \frac{3}{4}}{[{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^4+{\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^3-2t^2-8t]}_{-4}^0\\ & =16\end{array}$