[210322] 2021 3월 학평 22번

양수 $a$와 일차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=\displaystyle\int^x_0(t^2-4)(|f(t)|-a)dt$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$는 극값을 갖지 않는다. (나) $g(2)=5$

$g(0)-g(-4)$의 값을 구하시오.

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(가) 조건에서 $g'(x)=(x^2-4)(|f(x)|-a)$의 부호가 변하지 않아야한다.

$x^2-4$는 $\pm2$에서 부호가 변하므로 $|f(x)|-a$도 $\pm2$에서 부호가 변해야한다.

$|f(x)|-a=\begin{cases}m(x-2) \quad\,\,\,\,\, (x\ge0)\\ -m(x+2) \quad (x<0)\end{cases}$

 

이제 (나) 조건을 보자

$\begin{align*}g(2)&=\displaystyle\int^2_0(t^2-4)\cdot m(t-2)\\&=\int^2_0m(t^3-2t^2-4t+8)\\&=\left[m(\dfrac{1}{4}t^4-\dfrac{2}{3}t^3-2t^2+8t)\right]^2_0\\&=\dfrac{20m}{3}=5\end{align*}$

$\therefore m=\dfrac{3}{4}$

 

$\begin{align*}g(0)-g(-4)&=\displaystyle\int^0_{-4}(t^2-4)\cdot(-\dfrac{3}{4}(t+2))dt\\&=-\dfrac{3}{4}\int^0_{-4}(t^3+2t^2-4t-8)dt\\&=-\dfrac{3}{4}\left[\dfrac{1}{4}t^4+\dfrac{2}{3}t^3-2t^2-8t\right]^0_{-4}\\&=16\end{align*}$