[210330] 2021년 3월 학평 확률과통계 30번

숫자 $1,2,3,4$ 중에서 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후 일렬로 나열할 때, 다음 조건을 만족시키도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.

(가) 숫자 $1$은 한 번 이상 나온다. (나) 이웃한 두 수의 차는 모두 $2$ 이하이다.

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네 개의 숫자에서 중복을 허락해 네 개를 뽑아 나열하는 경우의 수는 $_4\Pi_4=256$가지이다.

이 중 (가) 조건이 성립하지 않는 것은 1을 제외한 세 개의 숫자에서 뽑아 나열한 $_3\Pi_4=81$가지이다.

따라서 (가) 조건에 맞는 나열은 $256-81=175$가지이다.

 

 

(나) 조건을 어기는 경우는 1과 4가 이웃하는 경우이다.

1과 4가 이웃하는 경우에는 다음과 같은 3가지 경우가 있다.

i) 1과 4가 처음 두 수일 때 / ii) 1과 4가 가운데 두 수일 때 / iii) 1과 4가 마지막 두 수일 때

각각에 대해 1과 4가 위치를 바꾸는 2가지 경우의 수, 나머지 두 수를 고르는 $4\times4=16$가지 경우의 수가 있다.

곱의 법칙에 의해 세가지 경우가 각각 32가지 경우의 수를 가진다.

 

i)과 ii)가 동시에 일어나는 경우는 처음 세 수가 141 혹은 414인 경우이므로 8가지

ii)와 iii)이 동시에 일어나는 경우는 마지막 두 수가 141 혹은 414인 경우이므로 8가지

i)과 ii)가 동시에 일어나는 경우는 1414, 4114, 1441, 4141로 4가지

i), ii), iii)이 모두 동시에 일어나는 경우는 1414, 4141로 2가지이다.

 

(나) 조건을 어기는 총 경우의 수는 $3\times32-8-8-4+2=78$

 

 

따라서 우리가 원하는 나열의 수는 $175-78=97$가지