[210421] 2021년 4월 학평 21번

첫째항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=\begin{cases}a_n-2 \quad(a_n\ge0)\\a_n+5\quad(a_n<0)\end{cases}$을 만족시킨다. $a_{15}<0$이 되도록 하는 $a_1$의 최솟값을 구하시오.

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자연수 $k$에 대하여 $a_1=2k-1$이면 수열 $\{a_n\}$은 다음과 같다.

$a_1=2k-1$, $a_2=2k-3$, $\cdots$, $a_k=1$, $a_{k+1}=-1$, $a_{k+2}=4$, $a_{k+3}=2$, $a_{k+4}=0$, $a_{k+5}=-2$, $a_{k+6}=3$, $a_{k+7}=1$, $a_{k+8}=-1$, $\cdots$

따라서 음수인 항은 $k+1$, $k+5$, $k+8$, $k+12$, $k+15$, $\cdots$번째 항들이다.

$a_{15}$를 $0$보다 작게 만드는 $k$의 최솟값은 $3$이고 이 때, $a_1=5$

 

$a_1=2k$이면 수열 $\{a_n\}$은 다음과 같다.

$a_1=2k$, $a_2=2k-2$, $\cdots$, $a_k=2$, $a_{k+1}=0$, $a_{k+2}=-2$, $a_{k+3}=3$, $a_{k+4}=1$, $a_{k+5}=-1$, $a_{k+6}=4$, $a_{k+7}=2$, $a_{k+8}=0$, $\cdots$

따라서 음수인 항은 $k+2$, $k+5$, $k+9$, $k+12$, $k+16$, $\cdots$번째 항들이다.

$a_{15}$를 $0$보다 작게 만드는 $k$의 최솟값은 $3$이고 이 때, $a_1=6$

 

따라서 $a_1$의 최솟값은 5이다.